Упр.8.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Велосипедист каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист, и на путь длиной 30 км он затрачивает времени на 45 мин больше, чем мотоциклист. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.

а) Обозначим скорости пешеходов: $$x$$ км/ч — первого, $$y$$ км/ч — второго.

По условию первый проходит путь 12 км на 1 ч быстрее второго:

$$\frac{12}{x}=\frac{12}{y}-1.$$

Если увеличить скорости на $$2$$ км/ч и $$1$$ км/ч, то снова первый придёт на 1 ч раньше:

$$\frac{12}{x+2}=\frac{12}{y+1}-1.$$

Преобразуем первое уравнение:

$$\frac{12}{x}=\frac{12}{y}-1$$

$$12y=12x-xy$$

$$xy=12x-12y.$$

Преобразуем второе уравнение:

$$\frac{12}{x+2}=\frac{12}{y+1}-1$$

$$12(y+1)=12(x+2)-(x+2)(y+1)$$

$$12y+12=12x+24-xy-x-2y-2$$

$$14y-11x=10-xy.$$

Подставим $$xy=12x-12y$$:

$$14y-11x=10-12x+12y$$

$$2y=10-x,$$

$$y=5-\frac{x}{2}.$$

Подставим в уравнение $$xy=12x-12y$$:

$$x\left(5-\frac{x}{2}\right)=12x-12\left(5-\frac{x}{2}\right)$$

$$5x-\frac{x^2}{2}=12x-60+6x$$

$$\frac{x^2}{2}+13x-60=0$$

$$x^2+26x-120=0.$$

$$D=26^2+4\cdot120=1156,$$

$$x=\frac{-26\pm34}{2}.$$

Получаем $$x=4$$ или $$x=-30$$. Отрицательное значение не подходит, значит $$x=4$$.

Тогда

$$y=5-\frac{4}{2}=3.$$

б) Обозначим скорости: $$x$$ км/ч — велосипедиста, $$y$$ км/ч — мотоциклиста.

За 1 минуту велосипедист проезжает на $$600$$ м $$=0{,}6$$ км меньше, чем мотоциклист:

$$\frac{x}{60}=\frac{y}{60}-0{,}6,$$

$$x=y-36.$$

На путь $$30$$ км велосипедист тратит на $$45$$ мин больше:

$$\frac{30}{x}=\frac{30}{y}+\frac{45}{60}$$

$$\frac{10}{x}=\frac{10}{y}+\frac{1}{4}.$$

Умножим на $$4xy$$:

$$40y=40x+xy.$$

Подставим $$x=y-36$$:

$$40y=40(y-36)+y(y-36)$$

$$40y=40y-1440+y^2-36y$$

$$y^2-36y-1440=0.$$

$$D=36^2+4\cdot1440=7056,$$

$$y=\frac{36\pm84}{2}.$$

Получаем $$y=60$$ или $$y=-24$$. Отрицательное значение не подходит, значит $$y=60$$.

Тогда

$$x=60-36=24.$$

Ответ

а) $$4$$ км/ч и $$3$$ км/ч; б) $$24$$ км/ч и $$60$$ км/ч.