Упр.8.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
б) Первая труба равномерно подаёт воду в бассейн, а вторая труба равномерно отводит воду из бассейна. Через первую трубу бассейн наполняется на 3 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном наполовину бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 9 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн?
а) Обозначим через $$x$$ и $$y$$ время, за которое первый и второй рабочие выполняют заказ по отдельности.
Тогда их совместная работа даёт:
$$\frac{2{,}4}{x}+\frac{2{,}4}{y}=1.$$
По условию, если первый работал $$2$$ ч, а второй $$1$$ ч, то выполнено $$\frac{2}{3}$$ всей работы:
$$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}.$$
Умножим первое уравнение на $$10$$, второе — на $$3$$:
$$24\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=10,$$
$$\frac{6}{x}+\frac{3}{y}=2.$$
Удобнее решить систему в виде:
$$\frac{2{,}4}{x}+\frac{2{,}4}{y}=1,$$
$$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}.$$
Из второго уравнения:
$$6y+3x=2xy.$$
Из первого:
$$2{,}4y+2{,}4x=xy.$$
Умножим второе равенство на $$2$$:
$$4{,}8y+4{,}8x=2xy.$$
Тогда
$$6y+3x=4{,}8y+4{,}8x,$$
$$1{,}2y=1{,}8x,$$
$$y=1{,}5x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{2{,}4}{x}+\frac{2{,}4}{1{,}5x}=1,$$
$$\frac{2{,}4}{x}+\frac{1{,}6}{x}=1,$$
$$\frac{4}{x}=1,$$
$$x=4.$$
Тогда
$$y=1{,}5\cdot 4=6.$$
б) Пусть $$x$$ — время наполнения бассейна первой трубой, $$y$$ — время опорожнения второй трубой. По условию:
$$x=y+3.$$
За $$9$$ ч при открытых обеих трубах из половины бассейна он опустел, значит:
$$\frac{1}{2}+9\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=0.$$
Подставим $$x=y+3$$:
$$\frac{1}{2}+9\left(\frac{1}{y+3}-\frac{1}{y}\right)=0.$$
Умножим на $$2y(y+3)$$:
$$y(y+3)+18y-18(y+3)=0,$$
$$y^2+3y+18y-18y-54=0,$$
$$y^2+3y-54=0.$$
Найдём корни:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-54)=9+216=225,$$
$$y=\frac{-3\pm 15}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=-9,\quad y_2=6.$$
Отрицательное значение не подходит, значит $$y=6$$, тогда
$$x=6+3=9.$$
Ответ
а) $$4$$ ч и $$6$$ ч; б) $$9$$ ч и $$6$$ ч.
