Упр.8.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за 2 ч. Если первый, более опытный, сделает 40% задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится 4 ч 12 мин. За какое время сможет выполнить всё задание каждый рабочий, действуя в одиночку?

а) Пусть $$x$$ ч — время, за которое первый трактор вспашет поле один, а $$y$$ ч — время второго трактора.

Тогда их совместная работа даёт уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{36}.$$

Если первый трактор вспахал половину поля, а затем второй — вторую половину, то получаем:

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=75,$$

откуда

$$x+y=150.$$

Выразим $$y$$:

$$y=150-x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{150-x}=\frac{1}{36}.$$

Умножим на $$36x(150-x)$$:

$$36(150-x)+36x=x(150-x).$$

$$5400=x(150-x).$$

$$x^2-150x+5400=0.$$

Найдём корни:

$$D=150^2-4\cdot5400=900,$$

$$x=\frac{150\pm30}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=60,\quad x_2=90.$$

Тогда

$$y_1=150-60=90,\quad y_2=150-90=60.$$

Значит, тракторы могут вспахать поле за $$60$$ ч и $$90$$ ч.

б) Пусть $$x$$ ч — время, за которое первый рабочий выполнит задание один, а $$y$$ ч — время второго.

Тогда совместная работа даёт:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.$$

Если первый выполнит $$40\%$$ задания, а затем второй — оставшуюся часть, то:

$$0{,}4x+0{,}6y=4\text{ ч }12\text{ мин}.$$

Переведём время в часы:

$$4\text{ ч }12\text{ мин}=4+\frac{12}{60}=4{,}2.$$

Тогда

$$0{,}4x+0{,}6y=4{,}2,$$

$$4x+6y=42,$$

$$2x+3y=21.$$

Выразим $$x$$:

$$x=\frac{21-3y}{2}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.$$

Удобнее использовать уравнение

$$\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=1,$$

или

$$2y+2x=xy.$$

Подставим $$x=\frac{21-3y}{2}$$:

$$2y+2\cdot\frac{21-3y}{2}=y\cdot\frac{21-3y}{2},$$

$$2y+21-3y=\frac{21y-3y^2}{2},$$

$$2y^2-42y+42y-3y^2=0,$$

$$3y^2-23y+42=0.$$

Найдём корни:

$$D=23^2-4\cdot3\cdot42=25,$$

$$y=\frac{23\pm5}{6}.$$

Получаем:

$$y_1=3,\quad y_2=\frac{14}{3}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{21-3\cdot3}{2}=6,$$

$$x_2=\frac{21-3\cdot\frac{14}{3}}{2}=\frac{7}{2}=3{,}5.$$

Значит, первый рабочий может выполнить задание за $$3{,}5$$ ч, а второй — за $$3$$ ч.

Ответ

а) $$60$$ ч и $$90$$ ч; б) $$3{,}5$$ ч и $$3$$ ч.