Дополнительная задача 8 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) 5, а в остатке 2; г) 5, а в остатке 1;
б) 2, а в остатке 1; д) 10, а в остатке 1;
в) 3, а в остатке 1; е) 3, а остатка не будет.
Пусть $$a$$ и $$b$$ — цифры двузначного числа, тогда само число равно $$10a+b$$, а произведение его цифр — $$ab$$.
а) По условию
$$\frac{10a+b}{ab}=5+\frac{2}{ab}.$$
Умножим на $$ab$$:
$$10a+b=5ab+2.$$
$$5ab-10a-b+2=0,$$
$$5a(b-2)-(b-2)=0,$$
$$ (5a-1)(b-2)=0.$$
Так как $$a$$ и $$b$$ — цифры, то $$5a-1=0$$ невозможно. Значит, $$b=2$$.
Тогда $$a$$ может быть любой цифрой от $$1$$ до $$9$$.
Подходящие числа: $$12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.$$
б)
$$\frac{10a+b}{ab}=2+\frac{1}{ab}.$$
$$10a+b=2ab+1,$$
$$2ab-10a-b+1=0,$$
$$2ab-10a-b+5=4,$$
$$ (2a-1)(b-5)=4.$$
Так как $$a$$ и $$b$$ — цифры, получаем $$a=1$$ и $$b=9$$.
Подходит число $$19$$.
в)
$$\frac{10a+b}{ab}=3+\frac{1}{ab}.$$
$$10a+b=3ab+1,$$
$$b(3a-1)=10a-1,$$
$$b=\frac{10a-1}{3a-1}.$$
Проверка возможных цифр показывает, что целого значения $$b$$ не получается.
Таких чисел нет.
г)
$$\frac{10a+b}{ab}=5+\frac{1}{ab}.$$
$$10a+b=5ab+1,$$
$$b(5a-1)=10a-1,$$
$$b=\frac{10a-1}{5a-1}.$$
Проверка возможных цифр показывает, что целого значения $$b$$ не получается.
Таких чисел нет.
д)
$$\frac{10a+b}{ab}=10+\frac{1}{ab}.$$
$$10a+b=10ab+1,$$
$$10ab-10a-b+1=0,$$
$$ (10a-1)(b-1)=0.$$
Так как $$a$$ — цифра, то $$10a-1=0$$ невозможно. Значит, $$b=1$$.
Тогда $$a$$ может быть любой цифрой от $$2$$ до $$9$$.
Подходящие числа: $$21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91.$$
е)
$$\frac{10a+b}{ab}=3.$$
$$10a+b=3ab,$$
$$b(3a-1)=10a,$$
$$b=\frac{10a}{3a-1}.$$
Проверка возможных цифр даёт:
при $$a=1$$ получаем $$b=5$$, при $$a=2$$ получаем $$b=4$$, при $$a=3$$ получаем $$b=3$$.
Подходящие числа: $$15, 24, 33.$$
Ответ
а) $$12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92$$; б) $$19$$; в) таких чисел нет; г) таких чисел нет; д) $$21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91$$; е) $$15, 24, 33$$.
