Упр.8.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Имеется три слитка латуни. В каждом из первых двух слитков содержится 30% меди. Масса первого слитка равна 5 кг, масса второго — 3 кг. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди. Если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Каким будет процентное содержание меди в сплаве всех трёх слитков?

а) Пусть было $$x$$ л 40%-ного раствора и $$y$$ л 60%-ного раствора.

Тогда по условию после добавления 5 л воды получился 20%-ный раствор:

$$0{,}4x+0{,}6y=0{,}2(x+y+5).$$

После преобразования:

$$0{,}4x+0{,}6y=0{,}2x+0{,}2y+1,$$

$$0{,}2x+0{,}4y=1,$$

$$x+2y=5.$$

Если вместо воды добавить 5 л 80%-ного раствора, то получится 70%-ный раствор:

$$0{,}4x+0{,}6y+5\cdot 0{,}8=0{,}7(x+y+5).$$

Тогда

$$0{,}4x+0{,}6y+4=0{,}7x+0{,}7y+3{,}5,$$

$$0{,}3x+0{,}1y=0{,}5,$$

$$3x+y=5.$$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x+2y=5,\\ 3x+y=5. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$x=5-2y$$. Подставим во второе:

$$3(5-2y)+y=5,$$

$$15-6y+y=5,$$

$$5y=10,$$

$$y=2,$$

$$x=5-2\cdot 2=1.$$

Значит, было 1 л 40%-ного и 2 л 60%-ного раствора.

б) Пусть масса третьего слитка равна $$x$$ кг, а содержание меди в нём — $$y\%$$.

Составим уравнения по условию:

$$5\cdot 0{,}3+\frac{xy}{100}=0{,}56(5+x),$$

$$3\cdot 0{,}3+\frac{xy}{100}=0{,}6(3+x).$$

Упростим:

$$1{,}5+\frac{xy}{100}=2{,}8+0{,}56x,$$

$$0{,}9+\frac{xy}{100}=1{,}8+0{,}6x.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$0{,}6x-0{,}56x=1{,}5-0{,}9-2{,}8+1{,}8,$$

$$0{,}04x=0{,}4,$$

$$x=10.$$

Подставим в первое уравнение:

$$1{,}5+\frac{10y}{100}=2{,}8+0{,}56\cdot 10,$$

$$1{,}5+0{,}1y=8{,}4,$$

$$0{,}1y=6{,}9,$$

$$y=69.$$

Тогда масса всех трёх слитков равна $$5+3+10=18$$ кг, а масса меди в них:

$$5\cdot 0{,}3+3\cdot 0{,}3+10\cdot 0{,}69=1{,}5+0{,}9+6{,}9=9{,}3$$ кг.

Процентное содержание меди в общем сплаве:

$$\frac{9{,}3}{18}\cdot 100\% = 51\frac{2}{3}\%.$$

Ответ

а) 1 л и 2 л; б) $$51\frac{2}{3}\%$$.