Упр.7.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) {(x+2y)^2+(y-2x)^2=80, (x+2y)+(y-2x)=12};
б) {(x+y)^2+5x=6-5y, (x-y)^2+x=12+y};
в) {(1/x)^2+(1/y)^2=13, 1/x+1/y=5};
г) {(x-y)^2+(x+y)^2=74, (x-y)+(x+y)=12};
д) {(x+2y)^2-x=42+2y, (x-2y)^2-x=20-2y};
е) {1/(x+y)-1/(x-y)=-3, 1/(x-y)^2+1/(x+y)^2=29}.

Подробный ответ

а) Обозначим $$a=x+2y$$, $$b=y-2x$$. Тогда
$$ \begin{cases} a+b=12,\\ a^2+b^2=80. \end{cases} $$
Из $$b=12-a$$ получаем:
$$ a^2+(12-a)^2=80 $$
$$ 2a^2-24a+64=0 $$
$$ a^2-12a+32=0 $$
$$ D=12^2-4\cdot 32=16 $$
$$ a_1=4,\quad a_2=8 $$
Тогда $$b_1=8$$, $$b_2=4$$.
1) $$x+2y=4,\ y-2x=8$$
$$ \begin{cases} x=4-2y,\\ y-2(4-2y)=8 \end{cases} $$
$$ 5y=16,\quad y=\frac{16}{5},\quad x=-\frac{12}{5} $$
2) $$x+2y=8,\ y-2x=4$$
$$ \begin{cases} x=8-2y,\\ y-2(8-2y)=4 \end{cases} $$
$$ 5y=20,\quad y=4,\quad x=0 $$
б) Обозначим $$a=x+y$$, $$b=x-y$$. Тогда
$$ \begin{cases} a^2+5x=6-5y,\\ b^2+x=12+y. \end{cases} $$
Так как $$x=\dfrac{a+b}{2}$$, $$y=\dfrac{a-b}{2}$$, получаем:
$$ a^2+\frac{5(a+b)}{2}=6-\frac{5(a-b)}{2} $$
$$ a^2+5a=6 $$
$$ a^2+5a-6=0 $$
$$ D=49,\quad a_1=-6,\ a_2=1 $$
Аналогично:
$$ b^2+\frac{a+b}{2}=12+\frac{a-b}{2} $$
$$ b^2+b-12=0 $$
$$ D=49,\quad b_1=-4,\ b_2=3 $$
Проверяем пары $$a$$ и $$b$$:
1) $$a=-6,\ b=-4$$
$$ x=\frac{a+b}{2}=-5,\quad y=\frac{a-b}{2}=-1 $$
2) $$a=-6,\ b=3$$
$$ x=-\frac{3}{2},\quad y=-\frac{9}{2} $$
3) $$a=1,\ b=-4$$
$$ x=-\frac{3}{2},\quad y=\frac{5}{2} $$
4) $$a=1,\ b=3$$
$$ x=2,\quad y=-1 $$
в) Обозначим $$a=\frac{1}{x}$$, $$b=\frac{1}{y}$$. Тогда
$$ \begin{cases} a^2+b^2=13,\\ a+b=5. \end{cases} $$
Из $$b=5-a$$:
$$ a^2+(5-a)^2=13 $$
$$ 2a^2-10a+12=0 $$
$$ a^2-5a+6=0 $$
$$ D=1,\quad a_1=2,\ a_2=3 $$
Тогда $$b_1=3$$, $$b_2=2$$.
Следовательно,
$$ (x,y)=\left(\frac12,\frac13\right),\ \left(\frac13,\frac12\right) $$
г) Обозначим $$a=x-y$$, $$b=x+y$$. Тогда
$$ \begin{cases} a^2+b^2=74,\\ a+b=12. \end{cases} $$
Из $$b=12-a$$:
$$ a^2+(12-a)^2=74 $$
$$ 2a^2-24a+70=0 $$
$$ a^2-12a+35=0 $$
$$ D=4,\quad a_1=5,\ a_2=7 $$
Тогда $$b_1=7$$, $$b_2=5$$.
1) $$x-y=5,\ x+y=7$$, откуда $$x=6,\ y=1$$.
2) $$x-y=7,\ x+y=5$$, откуда $$x=6,\ y=-1$$.
д) Обозначим $$a=x+2y$$, $$b=x-2y$$. Тогда
$$ \begin{cases} a^2-x=42+2y,\\ b^2-x=20-2y. \end{cases} $$
Так как $$x=\dfrac{a+b}{2}$$, $$y=\dfrac{a-b}{4}$$, получаем:
$$ a^2-\frac{a+b}{2}=42+\frac{a-b}{2} $$
$$ a^2-a=42 $$
$$ a^2-a-42=0 $$
$$ D=169,\quad a_1=-6,\ a_2=7 $$
Аналогично:
$$ b^2-b=20 $$
$$ b^2-b-20=0 $$
$$ D=81,\quad b_1=-4,\ b_2=5 $$
Проверяем пары:
1) $$a=-6,\ b=-4$$, тогда $$x=-5,\ y=-\frac12$$.
2) $$a=-6,\ b=5$$, тогда $$x=-\frac12,\ y=-\frac{11}{4}$$.
3) $$a=7,\ b=-4$$, тогда $$x=\frac32,\ y=\frac{11}{4}$$.
4) $$a=7,\ b=5$$, тогда $$x=6,\ y=\frac12$$.
е) Обозначим $$a=\frac{1}{x+y}$$, $$b=\frac{1}{x-y}$$. Тогда
$$ \begin{cases} a-b=-3,\\ a^2+b^2=29. \end{cases} $$
Из $$b=a+3$$:
$$ a^2+(a+3)^2=29 $$
$$ 2a^2+6a-20=0 $$
$$ a^2+3a-10=0 $$
$$ D=49,\quad a_1=-5,\ a_2=2 $$
Тогда $$b_1=-2$$, $$b_2=5$$.
1) $$\frac{1}{x+y}=-5,\ \frac{1}{x-y}=-2$$, откуда
$$ x+y=-\frac15,\quad x-y=-\frac12 $$
$$ x=-\frac{7}{20},\quad y=\frac{3}{20} $$
2) $$\frac{1}{x+y}=2,\ \frac{1}{x-y}=5$$, откуда
$$ x+y=\frac12,\quad x-y=\frac15 $$
$$ x=\frac{7}{20},\quad y=\frac{3}{20} $$