Упр.7.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений методом введения новых переменных:

а) $$\begin{cases}(x+2y)^2+(y-2x)^2=80,\\(x+2y)+(y-2x)=12;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}(x+y)^2+5x=6-5y,\\(x-y)^2+x=12+y;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}\left(\frac{1}{x}\right)^2+\left(\frac{1}{y}\right)^2=13,\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5;\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}(x-y)^2+(x+y)^2=74,\\(x-y)+(x+y)=12;\end{cases}$$

д) $$\begin{cases}(x+2y)^2-x=42+2y,\\(x-2y)^2-x=20-2y;\end{cases}$$

е) $$\begin{cases}\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}=-3,\\\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(x+y)^2}=29.\end{cases}$$

Подробный ответ

а) Обозначим $$a=x+2y$$, $$b=y-2x$$. Тогда
$$\begin{cases} a+b=12,\\ a^2+b^2=80. \end{cases}$$
Из $$b=12-a$$ получаем:
$$a^2+(12-a)^2=80$$
$$2a^2-24a+64=0$$
$$a^2-12a+32=0$$
$$D=12^2-4\cdot 32=16$$
$$a_1=4,\quad a_2=8$$
Тогда $$b_1=8$$, $$b_2=4$$.
1) $$x+2y=4,\ y-2x=8$$
$$\begin{cases} x=4-2y,\\ y-2(4-2y)=8 \end{cases}$$
$$5y=16,\quad y=\frac{16}{5},\quad x=-\frac{12}{5}$$
2) $$x+2y=8,\ y-2x=4$$
$$\begin{cases} x=8-2y,\\ y-2(8-2y)=4 \end{cases}$$
$$5y=20,\quad y=4,\quad x=0$$
б) Обозначим $$a=x+y$$, $$b=x-y$$. Тогда
$$\begin{cases} a^2+5x=6-5y,\\ b^2+x=12+y. \end{cases}$$
Так как $$x=\dfrac{a+b}{2}$$, $$y=\dfrac{a-b}{2}$$, получаем:
$$a^2+\frac{5(a+b)}{2}=6-\frac{5(a-b)}{2}$$
$$a^2+5a=6$$
$$a^2+5a-6=0$$
$$D=49,\quad a_1=-6,\ a_2=1$$
Аналогично:
$$b^2+\frac{a+b}{2}=12+\frac{a-b}{2}$$
$$b^2+b-12=0$$
$$D=49,\quad b_1=-4,\ b_2=3$$
Проверяем пары $$a$$ и $$b$$:
1) $$a=-6,\ b=-4$$
$$x=\frac{a+b}{2}=-5,\quad y=\frac{a-b}{2}=-1$$
2) $$a=-6,\ b=3$$
$$x=-\frac{3}{2},\quad y=-\frac{9}{2}$$
3) $$a=1,\ b=-4$$
$$x=-\frac{3}{2},\quad y=\frac{5}{2}$$
4) $$a=1,\ b=3$$
$$x=2,\quad y=-1$$
в) Обозначим $$a=\frac{1}{x}$$, $$b=\frac{1}{y}$$. Тогда
$$\begin{cases} a^2+b^2=13,\\ a+b=5. \end{cases}$$
Из $$b=5-a$$:
$$a^2+(5-a)^2=13$$
$$2a^2-10a+12=0$$
$$a^2-5a+6=0$$
$$D=1,\quad a_1=2,\ a_2=3$$
Тогда $$b_1=3$$, $$b_2=2$$.
Следовательно,
$$(x,y)=\left(\frac12,\frac13\right),\ \left(\frac13,\frac12\right)$$
г) Обозначим $$a=x-y$$, $$b=x+y$$. Тогда
$$\begin{cases} a^2+b^2=74,\\ a+b=12. \end{cases}$$
Из $$b=12-a$$:
$$a^2+(12-a)^2=74$$
$$2a^2-24a+70=0$$
$$a^2-12a+35=0$$
$$D=4,\quad a_1=5,\ a_2=7$$
Тогда $$b_1=7$$, $$b_2=5$$.
1) $$x-y=5,\ x+y=7$$, откуда $$x=6,\ y=1$$.
2) $$x-y=7,\ x+y=5$$, откуда $$x=6,\ y=-1$$.
д) Обозначим $$a=x+2y$$, $$b=x-2y$$. Тогда
$$\begin{cases} a^2-x=42+2y,\\ b^2-x=20-2y. \end{cases}$$
Так как $$x=\dfrac{a+b}{2}$$, $$y=\dfrac{a-b}{4}$$, получаем:
$$a^2-\frac{a+b}{2}=42+\frac{a-b}{2}$$
$$a^2-a=42$$
$$a^2-a-42=0$$
$$D=169,\quad a_1=-6,\ a_2=7$$
Аналогично:
$$b^2-b=20$$
$$b^2-b-20=0$$
$$D=81,\quad b_1=-4,\ b_2=5$$
Проверяем пары:
1) $$a=-6,\ b=-4$$, тогда $$x=-5,\ y=-\frac12$$.
2) $$a=-6,\ b=5$$, тогда $$x=-\frac12,\ y=-\frac{11}{4}$$.
3) $$a=7,\ b=-4$$, тогда $$x=\frac32,\ y=\frac{11}{4}$$.
4) $$a=7,\ b=5$$, тогда $$x=6,\ y=\frac12$$.
е) Обозначим $$a=\frac{1}{x+y}$$, $$b=\frac{1}{x-y}$$. Тогда
$$\begin{cases} a-b=-3,\\ a^2+b^2=29. \end{cases}$$
Из $$b=a+3$$:
$$a^2+(a+3)^2=29$$
$$2a^2+6a-20=0$$
$$a^2+3a-10=0$$
$$D=49,\quad a_1=-5,\ a_2=2$$
Тогда $$b_1=-2$$, $$b_2=5$$.
1) $$\frac{1}{x+y}=-5,\ \frac{1}{x-y}=-2$$, откуда
$$x+y=-\frac15,\quad x-y=-\frac12$$
$$x=-\frac{7}{20},\quad y=\frac{3}{20}$$
2) $$\frac{1}{x+y}=2,\ \frac{1}{x-y}=5$$, откуда
$$x+y=\frac12,\quad x-y=\frac15$$
$$x=\frac{7}{20},\quad y=\frac{3}{20}$$