Упр.7.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {(x-3)(y-4)=8, (x-3)/(y-4)=2}; г) {(x-2)(y+3)=2, (x-2)/(y+3)=2};
б) {(x+1)(y+2)=18, (x+1)/(y+2)=2}; д) {(x+7)(y+1)=48, (x+7)/(y+1)=3};
в) {(x^2-2x+1)(y+2)=8, (y+2)/(x-1)=-1}; е) {(x-4)(y^2+2y+1)=16, (y+1)/(x-4)=-4}.

1. а) Введём новые переменные: $$a=x-3,\quad b=y-4.$$ Тогда система примет вид

   $$ \begin{cases} ab=8,\\ \dfrac{a}{b}=2 \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$a=2b$$. Подставим в первое:

   $$2b^2=8,\quad b^2=4,\quad b=\pm 2.$$

   Если $$b=2,$$ то $$a=4,$$ значит, $$x=7,\ y=6.$$

   Если $$b=-2,$$ то $$a=-4,$$ значит, $$x=-1,\ y=2.$$

   Ответ: $$(-1;\ 2),\ (7;\ 6).$$

2. б) Пусть $$a=x+1,\quad b=y+2.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} ab=18,\\ \dfrac{a}{b}=2 \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$a=2b.$$ Подставим:

   $$2b^2=18,\quad b^2=9,\quad b=\pm 3.$$

   Если $$b=3,$$ то $$a=6,$$ значит, $$x=5,\ y=1.$$

   Если $$b=-3,$$ то $$a=-6,$$ значит, $$x=-7,\ y=-5.$$

   Ответ: $$(-7;\ -5),\ (5;\ 1).$$

3. в) Заметим, что $$x^2-2x+1=(x-1)^2.$$ Введём переменные: $$a=x-1,\quad b=y+2.$$ Тогда система имеет вид

   $$ \begin{cases} a^2b=8,\\ \dfrac{b}{a}=-1 \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$b=-a.$$ Подставим в первое:

   $$a^2(-a)=8,\quad -a^3=8,\quad a^3=-8,\quad a=-2.$$

   Тогда $$b=2.$$ Возвращаемся к исходным переменным:

   $$x-1=-2,\quad x=-1;$$

   $$y+2=2,\quad y=0.$$

   Ответ: $$(-1;\ 0).$$

4. г) Пусть $$a=x-2,\quad b=y+3.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} ab=2,\\ \dfrac{a}{b}=2 \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$a=2b.$$ Подставим:

   $$2b^2=2,\quad b^2=1,\quad b=\pm 1.$$

   Если $$b=1,$$ то $$a=2,$$ значит, $$x=4,\ y=-2.$$

   Если $$b=-1,$$ то $$a=-2,$$ значит, $$x=0,\ y=-4.$$

   Ответ: $$(0;\ -4),\ (4;\ -2).$$

5. д) Введём обозначения: $$a=x+7,\quad b=y+1.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} ab=48,\\ \dfrac{a}{b}=3 \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$a=3b.$$ Подставим:

   $$3b^2=48,\quad b^2=16,\quad b=\pm 4.$$

   Если $$b=4,$$ то $$a=12,$$ значит, $$x=5,\ y=3.$$

   Если $$b=-4,$$ то $$a=-12,$$ значит, $$x=-19,\ y=-5.$$

   Ответ: $$(-19;\ -5),\ (5;\ 3).$$

6. е) Заметим, что $$y^2+2y+1=(y+1)^2.$$ Пусть $$a=x-4,\quad b=y+1.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} ab^2=16,\\ \dfrac{b}{a}=-4 \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$b=-4a.$$ Подставим в первое:

   $$a(-4a)^2=16,\quad 16a^3=16,\quad a^3=1,\quad a=1.$$

   Тогда $$b=-4.$$ Возвращаемся к исходным переменным:

   $$x-4=1,\quad x=5;$$

   $$y+1=-4,\quad y=-5.$$

   Ответ: $$(5;\ -5).$$