Упр.7.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) {x/y-y/x=8/3, x+y=4}; г) {x/y+y/x=5,2, x-y=4};
б) {x+y+x/y=17, (x+y)x/y=72}; д) {x-y-x/y=-1, (x-y)x/y=42};
в) {(x+y)/(x-y)+(6x-6y)/(x+y)=5, xy=3};
е) {(x+2y)/(x-2y)+(6x-12y)/(x+2y)=5, xy=6}.
а) Пусть $$t=\frac{x}{y}$$, тогда
$$t-\frac{1}{t}=\frac{8}{3}$$
$$3t^2-8t-3=0$$
$$D=8^2+4\cdot 3\cdot 3=100$$
$$t_1=\frac{8-10}{6}=-\frac{1}{3},\quad t_2=\frac{8+10}{6}=3$$
1) $$\frac{x}{y}=-\frac{1}{3}$$, значит $$x=-\frac{y}{3}$$. Тогда
$$x+y=4,\quad -\frac{y}{3}+y=4,\quad \frac{2y}{3}=4,\quad y=6,\quad x=-2$$
2) $$\frac{x}{y}=3$$, значит $$x=3y$$. Тогда
$$x+y=4,\quad 3y+y=4,\quad 4y=4,\quad y=1,\quad x=3$$
Ответ: $$(-2;6),\ (3;1)$$.
б) Пусть $$a=x+y$$, $$b=\frac{x}{y}$$. Тогда
$$a+b=17,\quad ab=72$$
Подставим $$a=17-b$$:
$$b(17-b)=72$$
$$b^2-17b+72=0$$
$$D=17^2-4\cdot 72=1$$
$$b_1=8,\quad b_2=9$$
1) $$\frac{x}{y}=8$$, значит $$x=8y$$, а $$x+y=9$$. Тогда
$$8y+y=9,\quad 9y=9,\quad y=1,\quad x=8$$
2) $$\frac{x}{y}=9$$, значит $$x=9y$$, а $$x+y=8$$. Тогда
$$9y+y=8,\quad 10y=8,\quad y=0{,}8,\quad x=7{,}2$$
Ответ: $$ (8;1),\ (7{,}2;0{,}8) $$.
в) Пусть $$t=\frac{x+y}{x-y}$$, тогда
$$t+\frac{6}{t}=5$$
$$t^2-5t+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$t_1=2,\quad t_2=3$$
1) $$\frac{x+y}{x-y}=2$$, значит
$$x+y=2x-2y,\quad x=3y$$
Из $$xy=3$$ получаем
$$3y^2=3,\quad y^2=1,\quad y=\pm 1$$
Тогда $$x=\pm 3$$.
2) $$\frac{x+y}{x-y}=3$$, значит
$$x+y=3x-3y,\quad x=2y$$
Из $$xy=3$$ получаем
$$2y^2=3,\quad y=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$
Тогда $$x=\pm \sqrt{6}$$.
Ответ: $$(-3;-1),\ (3;1),\ (-\sqrt{6};-\sqrt{\frac{3}{2}}),\ (\sqrt{6};\sqrt{\frac{3}{2}})$$.
г) Пусть $$t=\frac{x}{y}$$, тогда
$$t+\frac{1}{t}=5{,}2$$
$$t^2-5{,}2t+1=0$$
$$5t^2-26t+5=0$$
$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=576$$
$$t_1=0{,}2,\quad t_2=5$$
1) $$\frac{x}{y}=0{,}2$$, значит $$x=\frac{y}{5}$$. Тогда
$$x-y=4,\quad \frac{y}{5}-y=4,\quad -\frac{4y}{5}=4,\quad y=-5,\quad x=-1$$
2) $$\frac{x}{y}=5$$, значит $$x=5y$$. Тогда
$$x-y=4,\quad 5y-y=4,\quad 4y=4,\quad y=1,\quad x=5$$
Ответ: $$(-1;-5),\ (5;1)$$.
д) Пусть $$a=x-y$$, $$b=\frac{x}{y}$$. Тогда
$$a-b=-1,\quad b=a+1$$
$$ab=42,\quad a(a+1)=42$$
$$a^2+a-42=0$$
$$D=1+168=169$$
$$a_1=-7,\quad a_2=6$$
Тогда
$$b_1=-6,\quad b_2=7$$
1) $$\frac{x}{y}=-6$$, значит $$x=-6y$$. Тогда
$$x-y=-7,\quad -6y-y=-7,\quad 7y=7,\quad y=1,\quad x=-6$$
2) $$\frac{x}{y}=7$$, значит $$x=7y$$. Тогда
$$x-y=6,\quad 7y-y=6,\quad 6y=6,\quad y=1,\quad x=7$$
Ответ: $$(-6;1),\ (7;1)$$.
е) Пусть $$t=\frac{x+2y}{x-2y}$$, тогда
$$t+\frac{6}{t}=5$$
$$t^2-5t+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$t_1=2,\quad t_2=3$$
1) $$\frac{x+2y}{x-2y}=2$$, значит
$$x+2y=2x-4y,\quad x=6y$$
Из $$xy=6$$ получаем
$$6y^2=6,\quad y^2=1,\quad y=\pm 1$$
Тогда $$x=\pm 6$$.
2) $$\frac{x+2y}{x-2y}=3$$, значит
$$x+2y=3x-6y,\quad x=4y$$
Из $$xy=6$$ получаем
$$4y^2=6,\quad y^2=\frac{3}{2},\quad y=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$
Тогда $$x=\pm 2\sqrt{6}$$.
Ответ: $$(-6;-1),\ (6;1),\ (-2\sqrt{6};-\sqrt{\frac{3}{2}}),\ (2\sqrt{6};\sqrt{\frac{3}{2}})$$.
Ответ
а) $$(-2;6),\ (3;1)$$; б) $$ (8;1),\ (7{,}2;0{,}8) $$; в) $$(-3;-1),\ (3;1),\ (-\sqrt{6};-\sqrt{\frac{3}{2}}),\ (\sqrt{6};\sqrt{\frac{3}{2}})$$; г) $$(-1;-5),\ (5;1)$$; д) $$(-6;1),\ (7;1)$$; е) $$(-6;-1),\ (6;1),\ (-2\sqrt{6};-\sqrt{\frac{3}{2}}),\ (2\sqrt{6};\sqrt{\frac{3}{2}})$$.
