Упр.7.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений методом введения новых переменных:
а) $$\begin{cases} xy(x+y)=2, \\ x+xy+y=-3; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} 5x-4xy-5y=32, \\ xy(x-y)=-12; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} 3(x-y)^2+(2x+y)^2=9, \\ (x-y)-4(2x+y)=-12; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} \frac{4}{(x+y)^2}+\frac{1}{(2x-y)^2}=2, \\ \frac{2}{x+y}-\frac{3}{2x-y}=-2; \end{cases}$$
д) $$\begin{cases} 2(x+y)^2+3(x-2y)^2=12, \\ 3(x+y)-2x+4y=-4; \end{cases}$$
е) $$\begin{cases} \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{9}{(x+y)^2}=2, \\ \frac{4}{x-y}-\frac{3}{x+y}=3. \end{cases}$$
а) Пусть $$a=xy$$, $$b=x+y$$. Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} ab=2,\\ a+b=-3. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$b=-a-3$$. Подставим в первое:
$$a(-a-3)=2$$
$$a^2+3a+2=0$$
$$(a+1)(a+2)=0$$
Отсюда $$a=-1$$ или $$a=-2$$.
1) Если $$a=-1$$, то $$b=-2$$. Тогда
$$\begin{cases} xy=-1,\\ x+y=-2. \end{cases}$$
$$y=-x-2,\quad x(-x-2)=-1$$
$$x^2+2x-1=0$$
$$x=-1\pm \sqrt{2}$$
Тогда
$$y=-1\mp \sqrt{2}.$$
2) Если $$a=-2$$, то $$b=-1$$. Тогда
$$\begin{cases} xy=-2,\\ x+y=-1. \end{cases}$$
$$y=-x-1,\quad x(-x-1)=-2$$
$$x^2+x-2=0$$
$$(x+2)(x-1)=0$$
Отсюда $$x=-2$$ или $$x=1$$.
Соответственно, $$y=1$$ или $$y=-2$$.
б) Пусть $$a=x-y$$, $$b=2x+y$$. Тогда
$$\begin{cases} 3a^2+b^2=9,\\ a-4b=-12. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$a=4b-12$$. Подставим в первое:
$$3(4b-12)^2+b^2=9$$
$$49b^2-288b+423=0$$
$$D=288^2-4\cdot 49\cdot 423=36$$
$$b_1=\frac{288-6}{98}=3,\quad b_2=\frac{288+6}{98}=\frac{141}{49}$$
Тогда
$$a_1=4\cdot 3-12=0,\quad a_2=4\cdot \frac{141}{49}-12=-\frac{24}{49}.$$
1) Если $$a=0$$, $$b=3$$, то
$$\begin{cases} x-y=0,\\ 2x+y=3. \end{cases}$$
Отсюда $$x=y$$, значит $$3x=3$$, $$x=1$$, $$y=1$$.
2) Если $$a=-\frac{24}{49}$$, $$b=\frac{141}{49}$$, то
$$\begin{cases} x-y=-\frac{24}{49},\\ 2x+y=\frac{141}{49}. \end{cases}$$
Складывая уравнения, получаем
$$3x=\frac{117}{49},\quad x=\frac{39}{49}$$
$$y=x+\frac{24}{49}=\frac{63}{49}=\frac{9}{7}.$$
в) Пусть $$a=x+y$$, $$b=2x-y$$. Тогда
$$\begin{cases} \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=2,\\[4pt] \dfrac{2}{a}-\dfrac{3}{b}=-2. \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$\frac{2}{a}=\frac{3}{b}-2$$
Подставим в первое и после преобразований получим
$$5b^2-6b+1=0$$
$$(5b-1)(b-1)=0$$
Отсюда $$b=\frac{1}{5}$$ или $$b=1$$.
1) Если $$b=\frac{1}{5}$$, то $$a=-\frac{10}{7}$$.
2) Если $$b=1$$, то $$a=2$$.
Далее решаем системы
$$\begin{cases} x+y=-\frac{10}{7},\\ 2x-y=\frac{1}{5} \end{cases} \qquad \begin{cases} x+y=2,\\ 2x-y=1. \end{cases}$$
Получаем
$$\left(\frac{25}{21};-\frac{55}{21}\right),\quad (1;1).$$
г) Пусть $$a=xy$$, $$b=x-y$$. Тогда
$$\begin{cases} 5b-4a=32,\\ ab=-12. \end{cases}$$
Из первого уравнения
$$a=\frac{5}{4}b-8.$$
Подставим во второе:
$$b\left(\frac{5}{4}b-8\right)=-12$$
$$5b^2-32b+48=0$$
$$D=64$$
$$b_1=\frac{32-8}{10}=\frac{12}{5},\quad b_2=\frac{32+8}{10}=4$$
Тогда
$$a_1=\frac{5}{4}\cdot \frac{12}{5}-8=-5,\quad a_2=\frac{5}{4}\cdot 4-8=-3.$$
1) Если $$x-y=\frac{12}{5}$$, $$xy=-5$$, то действительных решений нет.
2) Если $$x-y=4$$, $$xy=-3$$, то
$$y=x-4,\quad x(x-4)=-3$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$(x-1)(x-3)=0$$
Отсюда $$x=1$$, $$y=-3$$ или $$x=3$$, $$y=-1$$.
д) Пусть $$a=x+y$$, $$b=x-2y$$. Тогда
$$\begin{cases} 2a^2+3b^2=12,\\ 3a-2b=-4. \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$b=\frac{3a+4}{2}.$$
Подставим в первое:
$$2a^2+3\left(\frac{3a+4}{2}\right)^2=12$$
$$35a^2+72a=0$$
$$a(35a+72)=0$$
Отсюда $$a=0$$ или $$a=-\frac{72}{35}$$.
1) Если $$a=0$$, то $$b=2$$. Тогда
$$\begin{cases} x+y=0,\\ x-2y=2 \end{cases}$$
Получаем $$x=\frac{2}{3}$$, $$y=-\frac{2}{3}$$.
2) Если $$a=-\frac{72}{35}$$, то $$b=-\frac{38}{35}$$. Тогда
$$\begin{cases} x+y=-\frac{72}{35},\\ x-2y=-\frac{38}{35} \end{cases}$$
Получаем $$x=-\frac{26}{15}$$, $$y=-\frac{34}{105}$$.
е) Пусть $$a=x-y$$, $$b=x+y$$. Тогда
$$\begin{cases} \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}=2,\\[4pt] \dfrac{4}{a}-\dfrac{3}{b}=3. \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$\frac{3}{b}=\frac{4}{a}-3,\quad b=\frac{4a}{3-3a}$$
После подстановки в первое уравнение получаем
$$17a^2-24a+7=0$$
$$D=100$$
$$a_1=\frac{24-10}{34}=\frac{7}{17},\quad a_2=\frac{24+10}{34}=1$$
Тогда
$$b_1=-\frac{51}{23},\quad b_2=3.$$
1) Если $$x-y=\frac{17}{7}$$, $$x+y=-\frac{51}{23}$$, то
$$x=\frac{17}{161},\quad y=-\frac{374}{161}.$$
2) Если $$x-y=1$$, $$x+y=3$$, то
$$x=2,\quad y=1.$$
Ответ
а) $$(-1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2}),\;(-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}),\;(-2;1),\;(1;-2)$$
б) $$\left(\frac{39}{49};\frac{9}{7}\right),\;(1;1)$$
в) $$\left(\frac{25}{21};-\frac{55}{21}\right),\;(1;1)$$
г) $$\text{действительных решений нет},\;(1;-3),\;(3;-1)$$
д) $$\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right),\;\left(-\frac{26}{15};-\frac{34}{105}\right)$$
е) $$\left(\frac{17}{161};-\frac{374}{161}\right),\;(2;1)$$
