Упр.7.2 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений методом введения новых переменных:
а) $$\left\{\begin{aligned}x^2-3y^2&=-3,\\x^4-y^4&=65;\end{aligned}\right.$$
г) $$\left\{\begin{aligned}2x^2-3y^2&=-10,\\x^4-y^4&=-15;\end{aligned}\right.$$
б) $$\left\{\begin{aligned}x^2+2y^2&=17,\\x^4+2y^4&=113;\end{aligned}\right.$$
д) $$\left\{\begin{aligned}3x^2+y^2&=28,\\2x^4-y^4&=161;\end{aligned}\right.$$
в) $$\left\{\begin{aligned}(x+y)^2+2(x-y)^2&=11,\\(x+y)^4-(x-y)^4&=80;\end{aligned}\right.$$
е) $$\left\{\begin{aligned}(2x+y)^2+3(x-y)^2&=36,\\(2x+y)^4-2(x-y)^4&=-81.\end{aligned}\right.$$
а) Пусть $$a=x^2,\; b=y^2.$$ Тогда получаем систему
$$\begin{cases} a-3b=-3,\\ a^2-b^2=65. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$a=3b-3$$. Подставим во второе:
$$(3b-3)^2-b^2=65$$
$$9b^2-18b+9-b^2=65$$
$$8b^2-18b-56=0$$
$$4b^2-9b-28=0$$
$$D=9^2+4\cdot 4\cdot 28=529$$
$$b_1=\frac{9-23}{8}=-\frac74,\qquad b_2=\frac{9+23}{8}=4$$
Так как $$b=y^2\ge 0,$$ подходит только $$b=4.$$ Тогда
$$y^2=4,\quad y=\pm 2$$
$$a=3\cdot 4-3=9,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3$$
Ответ: $$(-3;-2),\;(-3;2),\;(3;-2),\;(3;2).$$
б) Пусть $$a=x^2,\; b=y^2.$$ Тогда
$$\begin{cases} a+2b=17,\\ a^2+2b^2=113. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$a=17-2b.$$ Подставим:
$$(17-2b)^2+2b^2=113$$
$$289-68b+4b^2+2b^2=113$$
$$3b^2-34b+88=0$$
$$D=34^2-4\cdot 3\cdot 88=100$$
$$b_1=\frac{34-10}{6}=4,\qquad b_2=\frac{34+10}{6}=\frac{22}{3}$$
1) Если $$b=4,$$ то $$a=17-8=9,$$ значит
$$x=\pm 3,\qquad y=\pm 2$$
2) Если $$b=\frac{22}{3},$$ то $$a=17-\frac{44}{3}=\frac73,$$ значит
$$x=\pm \sqrt{\frac73},\qquad y=\pm \sqrt{\frac{22}{3}}$$
Ответ: $$(-3;-2),\;(-3;2),\;(3;-2),\;(3;2),\;\left(-\sqrt{\frac73};-\sqrt{\frac{22}{3}}\right),\;\left(-\sqrt{\frac73};\sqrt{\frac{22}{3}}\right),\;\left(\sqrt{\frac73};-\sqrt{\frac{22}{3}}\right),\;\left(\sqrt{\frac73};\sqrt{\frac{22}{3}}\right).$$
в) Пусть $$a=(x+y)^2,\; b=(x-y)^2.$$ Тогда
$$\begin{cases} a+2b=11,\\ a^2-b^2=80. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$a=11-2b.$$ Подставим:
$$(11-2b)^2-b^2=80$$
$$121-44b+4b^2-b^2=80$$
$$3b^2-44b+41=0$$
$$D=44^2-4\cdot 3\cdot 41=1444$$
$$b_1=\frac{44-38}{6}=1,\qquad b_2=\frac{44+38}{6}=\frac{41}{3}$$
Так как $$b=(x-y)^2\ge 0,$$ рассмотрим оба значения.
1) $$b=1,$$ тогда $$a=11-2=9.$$ Получаем
$$(x+y)^2=9,\qquad (x-y)^2=1$$
Отсюда $$x+y=\pm 3,\; x-y=\pm 1.$$ Решая пары уравнений, получаем
$$(-1;-2),\;(1;2),\;(-2;-1),\;(2;1)$$
2) $$b=\frac{41}{3},$$ тогда $$a=11-\frac{82}{3}<0,$$ что невозможно, так как $$a=(x+y)^2\ge 0.$$
Ответ: $$(-1;-2),\;(1;2),\;(-2;-1),\;(2;1).$$
г) Пусть $$a=x^2,\; b=y^2.$$ Тогда
$$\begin{cases} 2a-3b=-10,\\ a^2-b^2=-15. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$a=\frac32 b-5.$$ Подставим:
$$\left(\frac32 b-5\right)^2-b^2=-15$$
$$\frac94 b^2-15b+25-b^2=-15$$
$$5b^2-60b+160=0$$
$$b^2-12b+32=0$$
$$D=12^2-4\cdot 32=16$$
$$b_1=\frac{12-4}{2}=4,\qquad b_2=\frac{12+4}{2}=8$$
1) $$b=4,$$ тогда $$a=6-5=1,$$ значит
$$x=\pm 1,\qquad y=\pm 2$$
2) $$b=8,$$ тогда $$a=12-5=7,$$ значит
$$x=\pm \sqrt7,\qquad y=\pm 2\sqrt2$$
Ответ: $$(-1;-2),\;(-1;2),\;(1;-2),\;(1;2),\;(-\sqrt7;-2\sqrt2),\;(-\sqrt7;2\sqrt2),\;(\sqrt7;-2\sqrt2),\;(\sqrt7;2\sqrt2).$$
д) Пусть $$a=x^2,\; b=y^2.$$ Тогда
$$\begin{cases} 3a+b=28,\\ 2a^2-b^2=161. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$b=28-3a.$$ Подставим:
$$2a^2-(28-3a)^2=161$$
$$2a^2-784+168a-9a^2=161$$
$$7a^2-168a+945=0$$
$$a^2-24a+135=0$$
$$D=24^2-4\cdot 135=36$$
$$a_1=\frac{24-6}{2}=9,\qquad a_2=\frac{24+6}{2}=15$$
Тогда
$$b_1=28-3\cdot 9=1,\qquad b_2=28-3\cdot 15=-17$$
Так как $$b=y^2\ge 0,$$ подходит только $$b=1.$$ Получаем
$$x^2=9,\quad x=\pm 3;\qquad y^2=1,\quad y=\pm 1$$
Ответ: $$(-3;-1),\;(-3;1),\;(3;-1),\;(3;1).$$
е) Пусть $$a=(2x+y)^2,\; b=(x-y)^2.$$ Тогда
$$\begin{cases} a+3b=36,\\ a^2-2b^2=-81. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$a=36-3b.$$ Подставим:
$$(36-3b)^2-2b^2=-81$$
$$1296-216b+9b^2-2b^2=-81$$
$$7b^2-216b+1377=0$$
$$D=216^2-4\cdot 7\cdot 1377=8100$$
$$b_1=\frac{216-90}{14}=9,\qquad b_2=\frac{216+90}{14}=\frac{153}{7}$$
1) $$b=9,$$ тогда $$a=36-27=9.$$ Получаем
$$(2x+y)^2=9,\qquad (x-y)^2=9$$
То есть $$2x+y=\pm 3,\; x-y=\pm 3.$$ Решая, получаем
$$(-2;1),\;(2;-1)$$
2) $$b=\frac{153}{7},$$ тогда $$a=36-\frac{459}{7}<0,$$ что невозможно, так как $$a=(2x+y)^2\ge 0.$$
Ответ: $$(-2;1),\;(2;-1).$$
