Упр.7.2 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) {x^2-3y^2=-3, x^4-y^4=65}; г) {2x^2-3y^2=-10, x^4-y^4=-15};
б) {x^2+2y^2=17, x^4+2y^4=113}; д) {3x^2+y^2=28, 2x^4-y^4=161};
в) {(x+y)^2+2(x-y)^2=11, (x+y)^4-(x-y)^4=80};
е) {(2x+y)^2+3(x-y)^2=36, (2x+y)^4-2(x-y)^4=-81}.
а) Пусть $$a=x^2,\; b=y^2.$$ Тогда получаем систему
$$ \begin{cases} a-3b=-3,\\ a^2-b^2=65. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$a=3b-3$$. Подставим во второе:
$$ (3b-3)^2-b^2=65 $$
$$ 9b^2-18b+9-b^2=65 $$
$$ 8b^2-18b-56=0 $$
$$ 4b^2-9b-28=0 $$
$$ D=9^2+4\cdot 4\cdot 28=529 $$
$$ b_1=\frac{9-23}{8}=-\frac74,\qquad b_2=\frac{9+23}{8}=4 $$
Так как $$b=y^2\ge 0,$$ подходит только $$b=4.$$ Тогда
$$ y^2=4,\quad y=\pm 2 $$
$$ a=3\cdot 4-3=9,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3 $$
Ответ: $$(-3;-2),\;(-3;2),\;(3;-2),\;(3;2).$$
б) Пусть $$a=x^2,\; b=y^2.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a+2b=17,\\ a^2+2b^2=113. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$a=17-2b.$$ Подставим:
$$ (17-2b)^2+2b^2=113 $$
$$ 289-68b+4b^2+2b^2=113 $$
$$ 3b^2-34b+88=0 $$
$$ D=34^2-4\cdot 3\cdot 88=100 $$
$$ b_1=\frac{34-10}{6}=4,\qquad b_2=\frac{34+10}{6}=\frac{22}{3} $$
1) Если $$b=4,$$ то $$a=17-8=9,$$ значит
$$ x=\pm 3,\qquad y=\pm 2 $$
2) Если $$b=\frac{22}{3},$$ то $$a=17-\frac{44}{3}=\frac73,$$ значит
$$ x=\pm \sqrt{\frac73},\qquad y=\pm \sqrt{\frac{22}{3}} $$
Ответ: $$(-3;-2),\;(-3;2),\;(3;-2),\;(3;2),\;\left(-\sqrt{\frac73};-\sqrt{\frac{22}{3}}\right),\;\left(-\sqrt{\frac73};\sqrt{\frac{22}{3}}\right),\;\left(\sqrt{\frac73};-\sqrt{\frac{22}{3}}\right),\;\left(\sqrt{\frac73};\sqrt{\frac{22}{3}}\right).$$
в) Пусть $$a=(x+y)^2,\; b=(x-y)^2.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a+2b=11,\\ a^2-b^2=80. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$a=11-2b.$$ Подставим:
$$ (11-2b)^2-b^2=80 $$
$$ 121-44b+4b^2-b^2=80 $$
$$ 3b^2-44b+41=0 $$
$$ D=44^2-4\cdot 3\cdot 41=1444 $$
$$ b_1=\frac{44-38}{6}=1,\qquad b_2=\frac{44+38}{6}=\frac{41}{3} $$
Так как $$b=(x-y)^2\ge 0,$$ рассмотрим оба значения.
1) $$b=1,$$ тогда $$a=11-2=9.$$ Получаем
$$ (x+y)^2=9,\qquad (x-y)^2=1 $$
Отсюда $$x+y=\pm 3,\; x-y=\pm 1.$$ Решая пары уравнений, получаем
$$ (-1;-2),\;(1;2),\;(-2;-1),\;(2;1) $$
2) $$b=\frac{41}{3},$$ тогда $$a=11-\frac{82}{3}<0,$$ что невозможно, так как $$a=(x+y)^2\ge 0.$$
Ответ: $$(-1;-2),\;(1;2),\;(-2;-1),\;(2;1).$$
г) Пусть $$a=x^2,\; b=y^2.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 2a-3b=-10,\\ a^2-b^2=-15. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$a=\frac32 b-5.$$ Подставим:
$$ \left(\frac32 b-5\right)^2-b^2=-15 $$
$$ \frac94 b^2-15b+25-b^2=-15 $$
$$ 5b^2-60b+160=0 $$
$$ b^2-12b+32=0 $$
$$ D=12^2-4\cdot 32=16 $$
$$ b_1=\frac{12-4}{2}=4,\qquad b_2=\frac{12+4}{2}=8 $$
1) $$b=4,$$ тогда $$a=6-5=1,$$ значит
$$ x=\pm 1,\qquad y=\pm 2 $$
2) $$b=8,$$ тогда $$a=12-5=7,$$ значит
$$ x=\pm \sqrt7,\qquad y=\pm 2\sqrt2 $$
Ответ: $$(-1;-2),\;(-1;2),\;(1;-2),\;(1;2),\;(-\sqrt7;-2\sqrt2),\;(-\sqrt7;2\sqrt2),\;(\sqrt7;-2\sqrt2),\;(\sqrt7;2\sqrt2).$$
д) Пусть $$a=x^2,\; b=y^2.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 3a+b=28,\\ 2a^2-b^2=161. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$b=28-3a.$$ Подставим:
$$ 2a^2-(28-3a)^2=161 $$
$$ 2a^2-784+168a-9a^2=161 $$
$$ 7a^2-168a+945=0 $$
$$ a^2-24a+135=0 $$
$$ D=24^2-4\cdot 135=36 $$
$$ a_1=\frac{24-6}{2}=9,\qquad a_2=\frac{24+6}{2}=15 $$
Тогда
$$ b_1=28-3\cdot 9=1,\qquad b_2=28-3\cdot 15=-17 $$
Так как $$b=y^2\ge 0,$$ подходит только $$b=1.$$ Получаем
$$ x^2=9,\quad x=\pm 3;\qquad y^2=1,\quad y=\pm 1 $$
Ответ: $$(-3;-1),\;(-3;1),\;(3;-1),\;(3;1).$$
е) Пусть $$a=(2x+y)^2,\; b=(x-y)^2.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a+3b=36,\\ a^2-2b^2=-81. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$a=36-3b.$$ Подставим:
$$ (36-3b)^2-2b^2=-81 $$
$$ 1296-216b+9b^2-2b^2=-81 $$
$$ 7b^2-216b+1377=0 $$
$$ D=216^2-4\cdot 7\cdot 1377=8100 $$
$$ b_1=\frac{216-90}{14}=9,\qquad b_2=\frac{216+90}{14}=\frac{153}{7} $$
1) $$b=9,$$ тогда $$a=36-27=9.$$ Получаем
$$ (2x+y)^2=9,\qquad (x-y)^2=9 $$
То есть $$2x+y=\pm 3,\; x-y=\pm 3.$$ Решая, получаем
$$ (-2;1),\;(2;-1) $$
2) $$b=\frac{153}{7},$$ тогда $$a=36-\frac{459}{7}<0,$$ что невозможно, так как $$a=(2x+y)^2\ge 0.$$
Ответ: $$(-2;1),\;(2;-1).$$
