Упр.7.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} x^2+4x-1, & -3\le x<0,\\ \sqrt{x}, & 0\le x\le 4. \end{cases}$$

1. Для построения графика строим отдельно две части:

   $$y=x^2+4x-1,\quad -3\le x<0$$

   Это часть параболы с вершиной в точке $$(-2;\,-5)$$. На концах промежутка получаем:

   $$f(-3)=9-12-1=-4,\qquad \lim_{x\to 0-}f(x)=-1.$$

   Значит, на этом участке график идёт от точки $$(-3;\,-4)$$ до точки $$\bigl(0;\,-1\bigr)$$, причём точка $$\bigl(0;\,-1\bigr)$$ не входит в график.

   Для второй части:

   $$y=\sqrt{x},\quad 0\le x\le 4$$

   Это график корня на отрезке от точки $$\bigl(0;\,0\bigr)$$ до точки $$\bigl(4;\,2\bigr)$$.

2. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$(-3;1]$$.

   На участке $$-3<x<0$$ имеем параболу $$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$$, её наименьшее значение равно $$-5$$ при $$x=-2$$.

   На этом же участке наибольшее значение стремится к $$-1$$ при $$x\to 0-$$, но точка $$x=0$$ здесь не входит.

   На участке $$0\le x\le 1$$ функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает, поэтому наибольшее значение на этом отрезке равно $$1$$ при $$x=1$$.

   Следовательно,

   $$y_{\max}=1,\qquad y_{\min}=-5.$$

3. Рассмотрим уравнение $$f(x)=p$$. Оно имеет один корень тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график функции ровно в одной точке.

   По графику это происходит при

   $$p\in\{-5\}\cup(-4;-1]\cup[0;2].$$

4. Найдём точку, для которой выполняется равенство $$f(x)=f(x+2)$$.

   Подходит значение $$x=-3$$, так как

   $$f(-3)=(-3)^2+4\cdot(-3)-1=-4,$$

   $$f(-1)=(-1)^2+4\cdot(-1)-1=-4.$$

   Значит, $$f(-3)=f(-1)$$, то есть искомая точка имеет абсциссу $$x=-3$$.

Ответ

а) График состоит из части параболы $$y=x^2+4x-1$$ при $$-3\le x<0$$ и графика $$y=\sqrt{x}$$ при $$0\le x\le 4$$.

б) $$y_{\max}=1,\; y_{\min}=-5.$$

в) $$p\in\{-5\}\cup(-4;-1]\cup[0;2].$$

г) $$x=-3.$$