Упр.7.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) Постройте график функции y=f(x).
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (—3; 1].
в) При каких значениях параметра у уравнение f(x)=p имеет один корень?
г) Найдите на графике точку, для которой справедливо равенство f(x)=f(x+2)?

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} x^2+4x-1, & -3\le x<0,\\ \sqrt{x}, & 0\le x\le 4. \end{cases} $$

Для построения графика строим отдельно две части:
$$y=x^2+4x-1,\quad -3\le x<0$$
Это часть параболы с вершиной в точке $$(-2;\,-5)$$. На концах промежутка получаем:
$$f(-3)=9-12-1=-4,\qquad \lim_{x\to 0-}f(x)=-1.$$
Значит, на этом участке график идёт от точки $$(-3;\,-4)$$ до точки $$\bigl(0;\,-1\bigr)$$, причём точка $$\bigl(0;\,-1\bigr)$$ не входит в график.
Для второй части:
$$y=\sqrt{x},\quad 0\le x\le 4$$
Это график корня на отрезке от точки $$\bigl(0;\,0\bigr)$$ до точки $$\bigl(4;\,2\bigr)$$.
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$(-3;1]$$.
На участке $$-3<x<0$$ имеем параболу $$y=x^2+4x-1=(x+2)^2-5$$, её наименьшее значение равно $$-5$$ при $$x=-2$$.
На этом же участке наибольшее значение стремится к $$-1$$ при $$x\to 0-$$, но точка $$x=0$$ здесь не входит.
На участке $$0\le x\le 1$$ функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает, поэтому наибольшее значение на этом отрезке равно $$1$$ при $$x=1$$.
Следовательно,
$$y_{\max}=1,\qquad y_{\min}=-5.$$
Рассмотрим уравнение $$f(x)=p$$. Оно имеет один корень тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график функции ровно в одной точке.
По графику это происходит при
$$p\in\{-5\}\cup(-4;-1]\cup[0;2].$$
Найдём точку, для которой выполняется равенство $$f(x)=f(x+2)$$.
Подходит значение $$x=-3$$, так как
$$f(-3)=(-3)^2+4\cdot(-3)-1=-4,$$
$$f(-1)=(-1)^2+4\cdot(-1)-1=-4.$$
Значит, $$f(-3)=f(-1)$$, то есть искомая точка имеет абсциссу $$x=-3$$.