Упр.7.1 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений методом введения новых переменных:
а) $$\begin{cases} x^2y^2-xy=30, \\ 3x-y=3; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} 2(x+y)^2-3(x+y)+1=0, \\ 4x+5y=-1; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} 2(x-y)-\frac{6}{x-y}+1=0, \\ x+2y=-5; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} \frac{x^2}{y^2}+4\cdot\frac{x}{y}=-3, \\ 3x-5y=14; \end{cases}$$
д) $$\begin{cases} 5(x-y)^2-7(x-y)=12, \\ 3x-2y=-18; \end{cases}$$
е) $$\begin{cases} 3(x+2y)-\frac{5}{x+2y}+2=0, \\ x-3y=6. \end{cases}$$
а) Введём новую переменную $$t=xy$$. Тогда
$$t^2-t=30$$
$$t^2-t-30=0$$
$$D=1+120=121,\quad t_1=\frac{1-11}{2}=-5,\quad t_2=\frac{1+11}{2}=6$$
1) Если $$xy=-5$$, то $$y=-\frac{5}{x}$$ и
$$3x+\frac{5}{x}=3$$
$$3x^2-3x+5=0$$
$$D=9-60=-51<0$$
Решений нет.
2) Если $$xy=6$$, то $$y=\frac{6}{x}$$ и
$$3x-\frac{6}{x}=3$$
$$3x^2-3x-6=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$(x-2)(x+1)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=-1$$
Тогда
$$x=2,\ y=3;\qquad x=-1,\ y=-6$$
б) Пусть $$t=x+y$$. Тогда
$$2t^2-3t+1=0$$
$$D=9-8=1,\quad t_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\quad t_2=\frac{3+1}{4}=1$$
1) Если $$x+y=\frac12$$, то $$y=\frac12-x$$ и
$$4x+5\left(\frac12-x\right)=-1$$
$$-x+\frac52=-1,\quad x=\frac72,\quad y=-3$$
2) Если $$x+y=1$$, то $$y=1-x$$ и
$$4x+5(1-x)=-1$$
$$-x+5=-1,\quad x=6,\quad y=-5$$
в) Пусть $$t=x-y$$. Тогда
$$2t-\frac{6}{t}+1=0$$
$$2t^2+t-6=0$$
$$D=1+48=49,\quad t_1=\frac{-1-7}{4}=-2,\quad t_2=\frac{-1+7}{4}=\frac32$$
1) Если $$x-y=-2$$, то $$y=x+2$$ и
$$x+2(x+2)=-5$$
$$3x=-9,\quad x=-3,\quad y=-1$$
2) Если $$x-y=\frac32$$, то $$y=x-\frac32$$ и
$$x+2\left(x-\frac32\right)=-5$$
$$3x-3=-5,\quad 3x=-2,\quad x=-\frac23,\quad y=-\frac{13}{6}$$
г) Пусть $$t=\frac{x}{y}$$. Тогда
$$t^2+4t=-3$$
$$t^2+4t+3=0$$
$$(t+1)(t+3)=0,\quad t=-1 \text{ или } t=-3$$
1) Если $$\frac{x}{y}=-3$$, то $$x=-3y$$ и
$$-9y-5y=14,\quad y=-1,\quad x=3$$
2) Если $$\frac{x}{y}=-1$$, то $$x=-y$$ и
$$-3y-5y=14,\quad y=-\frac74,\quad x=\frac74$$
д) Пусть $$t=x-y$$. Тогда
$$5t^2-7t=12$$
$$5t^2-7t-12=0$$
$$D=49+240=289,\quad t_1=\frac{7-17}{10}=-1,\quad t_2=\frac{7+17}{10}=\frac{12}{5}$$
1) Если $$x-y=-1$$, то $$y=x+1$$ и
$$3x-2(x+1)=-18$$
$$x=-16,\quad y=-15$$
2) Если $$x-y=\frac{12}{5}$$, то $$y=x-\frac{12}{5}$$ и
$$3x-2\left(x-\frac{12}{5}\right)=-18$$
$$x=-\frac{114}{5},\quad y=-\frac{138}{5}$$
е) Пусть $$t=x+2y$$. Тогда
$$3t-\frac{5}{t}+2=0$$
$$3t^2+2t-5=0$$
$$D=4+60=64,\quad t_1=\frac{-2-8}{6}=-\frac53,\quad t_2=\frac{-2+8}{6}=1$$
1) Если $$x+2y=-\frac53$$, то из $$x-3y=6$$ получаем
$$-2y-\frac53+2y?$$
Удобнее решить систему:
$$\begin{cases} x+2y=-\frac53,\\ x-3y=6 \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$5y=-\frac{23}{3},\quad y=-\frac{23}{15},\quad x=\frac{7}{5}$$
2) Если $$x+2y=1$$, то
$$\begin{cases} x+2y=1,\\ x-3y=6 \end{cases}$$
$$5y=-5,\quad y=-1,\quad x=3$$
Ответ
а) $$(-1;\,-6),\ (2;\,3)$$; б) $$(\tfrac72;\,-3),\ (6;\,-5)$$; в) $$(-3;\,-1),\ \left(-\tfrac23;\,-\tfrac{13}{6}\right)$$; г) $$(3;\,-1),\ \left(\tfrac74;\,-\tfrac74\right)$$; д) $$(-16;\,-15),\ \left(-\tfrac{114}{5};\,-\tfrac{138}{5}\right)$$; е) $$\left(\tfrac75;\,-\tfrac{23}{15}\right),\ (3;\,-1)$$.
