Упр.6.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) {x^2-4x-3y=-9, x^2+2x-2y=11}; г) {3x+y+y^2=3, 5x-2y+y^2=-5};
б) {xy+x=-3, xy+y=-8}; д) {xy-3x=-2, xy+2y=16};
в) {xy-x=-15, 2xy+3y=-26}; е) {x-3xy=-1, xy-4y=-2}.
а)
Вычтем второе уравнение из первого:
$$\begin{aligned} (x^2-4x-3y)-(x^2+2x-2y)&=-9-11,\\ -6x-y&=-20,\\ y&=20-6x. \end{aligned}$$
Подставим в первое уравнение:
$$\begin{aligned} x^2-4x-3(20-6x)&=-9,\\ x^2-4x-60+18x&=-9,\\ x^2+14x-51&=0. \end{aligned}$$
$$D=14^2-4\cdot 1\cdot(-51)=196+204=400.$$
Тогда
$$x=\frac{-14\pm 20}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-17,\quad x_2=3.$$
Найдём $y$:
$$y_1=20-6(-17)=122,\quad y_2=20-6\cdot 3=2.$$Ответ: $$(-17;\,122),\ (3;\,2).$$
б)
Вычтем первое уравнение из второго:
$$\begin{aligned} (xy+y)-(xy+x)&=-8-(-3),\\ y-x&=-5,\\ x-y&=5,\\ y&=x-5. \end{aligned}$$
Подставим в первое уравнение:
$$\begin{aligned} x(x-5)+x&=-3,\\ x^2-5x+x&=-3,\\ x^2-4x+3&=0. \end{aligned}$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.$$
Тогда
$$x=\frac{4\pm 2}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=1,\quad x_2=3.$$
Найдём $y$:
$$y_1=1-5=-4,\quad y_2=3-5=-2.$$Ответ: $$ (1;\,-4),\ (3;\,-2). $$
в)
Из первого уравнения:
$$xy-x=-15 \;\Rightarrow\; x(y-1)=-15.$$
Умножим первое уравнение на $2$:
$$2xy-2x=-30.$$
Вычтем его из второго:
$$\begin{aligned} (2xy+3y)-(2xy-2x)&=-26-(-30),\\ 2x+3y&=4,\\ 2x&=4-3y,\\ x&=2-\frac{3}{2}y. \end{aligned}$$
Подставим в первое уравнение:
$$\begin{aligned} y\left(2-\frac{3}{2}y\right)-\left(2-\frac{3}{2}y\right)&=-15,\\ 4y-3y^2+3y&=-30,\\ 3y^2-7y-26&=0. \end{aligned}$$
$$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-26)=49+312=361.$$
Тогда
$$y=\frac{7\pm 19}{6}.$$
Получаем:
$$y_1=-2,\quad y_2=\frac{13}{3}.$$
Найдём $x$:
$$x_1=2-\frac{3}{2}(-2)=5,\quad x_2=2-\frac{3}{2}\cdot\frac{13}{3}=-\frac{9}{2}.$$Ответ: $$ (5;\,-2),\ \left(-\frac{9}{2};\,\frac{13}{3}\right). $$
г)
Вычтем первое уравнение из второго:
$$\begin{aligned} (5x-2y+y^2)-(3x+y+y^2)&=-5-3,\\ 2x-3y&=-8,\\ x&=\frac{3y-8}{2}. \end{aligned}$$
Подставим в первое уравнение:
$$\begin{aligned} 3\cdot \frac{3y-8}{2}+y+y^2&=3,\\ 3(3y-8)+2y+2y^2&=6,\\ 2y^2+11y-30&=0. \end{aligned}$$
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot(-30)=121+240=361.$$
Тогда
$$y=\frac{-11\pm 19}{4}.$$
Получаем:
$$y_1=-\frac{15}{2},\quad y_2=2.$$
Найдём $x$:
$$x_1=\frac{3\cdot(-15/2)-8}{2}=-\frac{61}{4},\quad x_2=\frac{3\cdot 2-8}{2}=-1.$$Ответ: $$\left(-\frac{61}{4};\,-\frac{15}{2}\right),\ (-1;\,2).$$
д)
Вычтем первое уравнение из второго:
$$\begin{aligned} (xy+2y)-(xy-3x)&=16-(-2),\\ 3x+2y&=18,\\ y&=9-\frac{3}{2}x. \end{aligned}$$
Подставим в первое уравнение:
$$\begin{aligned} x\left(9-\frac{3}{2}x\right)-3x&=-2,\\ 9x-\frac{3}{2}x^2-3x&=-2,\\ 3x^2-12x-4&=0. \end{aligned}$$
$$D=12^2-4\cdot 3\cdot(-4)=144+48=192.$$
Тогда
$$x=\frac{12\pm \sqrt{192}}{6}=\frac{12\pm 8\sqrt{3}}{6}=\frac{6\pm 4\sqrt{3}}{3}.$$
Найдём $y$:
$$y=9-\frac{3}{2}x.$$
Поэтому
$$y_1=6-2\sqrt{3},\quad y_2=6+2\sqrt{3}.$$Ответ: $$\left(\frac{6+4\sqrt{3}}{3};\,6-2\sqrt{3}\right),\ \left(\frac{6-4\sqrt{3}}{3};\,6+2\sqrt{3}\right).$$
е)
Из второго уравнения:
$$xy-4y=-2 \;\Rightarrow\; y(x-4)=-2.$$
Умножим первое уравнение на $3$:
$$3x-9xy=-3.$$
Сложим с первым уравнением:
$$\begin{aligned} (x-3xy)+(3x-9xy)&=-1-3,\\ 4x-12xy&=-4. \end{aligned}$$
Удобнее выразить $x$ из первого уравнения:
$$x=3xy-1.$$
Подставим во второе:
$$\begin{aligned} y(3xy-1)-4y&=-2,\\ 3xy^2-5y&=-2. \end{aligned}$$
Решим систему через исключение: из первого уравнения
$$x(1-3y)=-1.$$
Тогда
$$x=\frac{-1}{1-3y}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\begin{aligned} \frac{-y}{1-3y}-4y&=-2,\\ -y-4y(1-3y)&=-2(1-3y),\\ 12y^2-11y+2&=0. \end{aligned}$$
$$D=11^2-4\cdot 12\cdot 2=121-96=25.$$
Тогда
$$y=\frac{11\pm 5}{24}.$$
Получаем:
$$y_1=\frac{2}{3},\quad y_2=\frac{1}{4}.$$
Найдём $x$:
$$x_1=3,\quad x_2=-4.$$Ответ: $$(-4;\,\tfrac{1}{4}),\ (3;\,\tfrac{2}{3}).$$
