Упр.6.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {x^2-y^2=11, xy=30}; г) {x^2+y^2=34, xy=15};
б) {x^2+y^2=52, xy=24}; д) {x^2-y^2=-45, xy=14};
в) {xy=12, x^2-y^2=32}; е) {x^2+y^2=37, xy=6}.

1. а)

   $$xy=30,\quad y=\frac{30}{x}$$

   Подставим в первое уравнение:
   $$x^2-\frac{900}{x^2}=11$$
   $$x^4-11x^2-900=0$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2-11t-900=0$$
   $$D=11^2+4\cdot 900=3721$$
   $$t_1=\frac{11-61}{2}=-25,\quad t_2=\frac{11+61}{2}=36$$

   Так как $$x^2\ge 0$$, то $$t=-25$$ не подходит, а
   $$x^2=36,\quad x=\pm 6$$
   Тогда
   $$y=\frac{30}{x}$$
   получаем пары:
   $$(-6,-5),\ (6,5)$$

2. б)

   $$x^2+y^2=52,\quad xy=24$$

   Сложим удвоенное второе уравнение с первым:
   $$x^2+2xy+y^2=52+48$$
   $$(x+y)^2=100$$
   $$x+y=\pm 10$$

   Если $$x+y=10$$, то
   $$y=10-x$$
   $$x(10-x)=24$$
   $$x^2-10x+24=0$$
   $$x=4 \text{ или } x=6$$
   Тогда $$y=6$$ или $$y=4$$.

   Если $$x+y=-10$$, то
   $$y=-10-x$$
   $$x(-10-x)=24$$
   $$x^2+10x+24=0$$
   $$x=-4 \text{ или } x=-6$$
   Тогда $$y=-6$$ или $$y=-4$$.

   Ответ:
   $$(-6,-4),\ (-4,-6),\ (4,6),\ (6,4)$$

3. в)

   $$xy=12,\quad y=\frac{12}{x}$$

   Подставим во второе уравнение:
   $$x^2-\frac{144}{x^2}=32$$
   $$x^4-32x^2-144=0$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2-32t-144=0$$
   $$D=32^2+4\cdot 144=1600$$
   $$t_1=\frac{32-40}{2}=-4,\quad t_2=\frac{32+40}{2}=36$$

   Подходит только $$x^2=36$$, значит
   $$x=\pm 6,\quad y=\frac{12}{x}=\pm 2$$
   Получаем:
   $$(-6,-2),\ (6,2)$$

4. г)

   $$x^2+y^2=34,\quad xy=15$$

   $$x^2+2xy+y^2=34+30$$
   $$(x+y)^2=64$$
   $$x+y=\pm 8$$

   Если $$x+y=8$$, то
   $$y=8-x$$
   $$x(8-x)=15$$
   $$x^2-8x+15=0$$
   $$x=3 \text{ или } x=5$$
   Тогда $$y=5$$ или $$y=3$$.

   Если $$x+y=-8$$, то
   $$y=-8-x$$
   $$x(-8-x)=15$$
   $$x^2+8x+15=0$$
   $$x=-5 \text{ или } x=-3$$
   Тогда $$y=-3$$ или $$y=-5$$.

   Ответ:
   $$(-5,-3),\ (-3,-5),\ (3,5),\ (5,3)$$

5. д)

   $$x^2-y^2=-45,\quad xy=14,\quad y=\frac{14}{x}$$

   Подставим:
   $$x^2-\frac{196}{x^2}=-45$$
   $$x^4+45x^2-196=0$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2+45t-196=0$$
   $$D=45^2+4\cdot 196=2809$$
   $$t_1=\frac{-45-53}{2}=-49,\quad t_2=\frac{-45+53}{2}=4$$

   Подходит только $$x^2=4$$, значит
   $$x=\pm 2,\quad y=\frac{14}{x}=\pm 7$$
   Получаем:
   $$(-2,-7),\ (2,7)$$

6. е)

   $$x^2+y^2=37,\quad xy=6$$

   $$x^2+2xy+y^2=37+12$$
   $$(x+y)^2=49$$
   $$x+y=\pm 7$$

   Если $$x+y=7$$, то
   $$y=7-x$$
   $$x(7-x)=6$$
   $$x^2-7x+6=0$$
   $$x=1 \text{ или } x=6$$
   Тогда $$y=6$$ или $$y=1$$.

   Если $$x+y=-7$$, то
   $$y=-7-x$$
   $$x(-7-x)=6$$
   $$x^2+7x+6=0$$
   $$x=-6 \text{ или } x=-1$$
   Тогда $$y=-1$$ или $$y=-6$$.

   Ответ:
   $$(-6,-1),\ (-1,-6),\ (1,6),\ (6,1)$$

Ответ

а) $$(-6,-5),\ (6,5)$$;
б) $$(-6,-4),\ (-4,-6),\ (4,6),\ (6,4)$$;
в) $$(-6,-2),\ (6,2)$$;
г) $$(-5,-3),\ (-3,-5),\ (3,5),\ (5,3)$$;
д) $$(-2,-7),\ (2,7)$$;
е) $$(-6,-1),\ (-1,-6),\ (1,6),\ (6,1)$$.