Упр.6.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {x^2+y^2+5x+y=-4, x^2-y^2+5x-y=-8};
б) {x^2+2y^2-3x+y=-1, x^2-3y^2-3x-y=-4};
в) {x^2+y^2+2x+y=-1, 3x^2-2y^2+6x-y=-4};
г) {2x^2+y^2+2x+y=18, 3x^2-y^2+3x-y=12};
д) {3x^2+2y^2-x+5y=0, 3x^2-y^2-x-2y=2};
е) {2x^2+y^2+4x+2y=15, x^2-3y^2+2x-6y=-45}.

1. а)

   Сложим уравнения системы:
   $$x^2+y^2+5x+y=-4$$
   $$x^2-y^2+5x-y=-8$$
   $$2x^2+10x=-12$$
   $$x^2+5x+6=0$$
   $$D=5^2-4\cdot 6=1,$$
   $$x_1=\frac{-5-1}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-5+1}{2}=-2.$$

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$2y^2+2y=4$$
   $$y^2+y-2=0$$
   $$D=1^2+4\cdot 2=9,$$
   $$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\quad y_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$

   Получаем пары решений:
   $$(-3;\,-2),\;(-3;\,1),\;(-2;\,-2),\;(-2;\,1).$$

2. б)

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$5y^2+2y=3$$
   $$5y^2+2y-3=0$$
   $$D=2^2+4\cdot 5\cdot 3=64,$$
   $$y_1=\frac{-2-8}{10}=-1,\quad y_2=\frac{-2+8}{10}=\frac35.$$

   При $$y=-1$$:
   $$x^2+2-3x-1=-1$$
   $$x^2-3x+2=0$$
   $$x_1=1,\quad x_2=2.$$

   При $$y=\frac35$$:
   $$x^2+2\cdot\frac{9}{25}-3x+\frac35=-1$$
   $$x^2-3x+\frac{82}{25}=0,$$
   $$D=9-\frac{328}{25}<0,$$ значит, решений нет.

   Ответ:
   $$(1;\,-1),\;(2;\,-1).$$

3. в)

   Умножим первое уравнение на 3:
   $$3x^2+3y^2+6x+3y=-3.$$
   Вычтем второе уравнение:
   $$5y^2+4y=1$$
   $$5y^2+4y-1=0$$
   $$D=4^2+4\cdot 5=36,$$
   $$y_1=\frac{-4-6}{10}=-1,\quad y_2=\frac{-4+6}{10}=\frac15.$$

   При $$y=-1$$:
   $$x^2+1+2x-1=-1$$
   $$x^2+2x+1=0$$
   $$x=-1.$$

   При $$y=\frac15$$:
   $$x^2+\frac1{25}+2x+\frac15=-1$$
   $$x^2+2x+\frac{31}{25}=0,$$
   $$D=4-\frac{124}{25}<0,$$ значит, решений нет.

   Ответ:
   $$(-1;\,-1).$$

4. г)

   Сложим уравнения:
   $$5x^2+5x=30$$
   $$x^2+x-6=0$$
   $$D=1+24=25,$$
   $$x_1=-3,\quad x_2=2.$$

   При $$x=-3$$:
   $$18+y^2-6+y=18$$
   $$y^2+y-6=0$$
   $$y=-3,\;2.$$

   При $$x=2$$:
   $$8+y^2+4+y=18$$
   $$y^2+y-6=0$$
   $$y=-3,\;2.$$

   Ответ:
   $$(-3;\,-3),\;(-3;\,2),\;(2;\,-3),\;(2;\,2).$$

5. д)

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$3y^2+7y=-2$$
   $$3y^2+7y+2=0$$
   $$D=7^2-4\cdot 3\cdot 2=25,$$
   $$y_1=-2,\quad y_2=-\frac13.$$

   При $$y=-2$$:
   $$3x^2+8-x-10=0$$
   $$3x^2-x-2=0$$
   $$D=25,$$
   $$x_1=-\frac23,\quad x_2=1.$$

   При $$y=-\frac13$$:
   $$3x^2+\frac29-x-\frac53=0$$
   $$27x^2-9x-13=0$$
   $$D=1485=9\cdot 165,$$
   $$x=\frac{9\pm 3\sqrt{165}}{54}=\frac{3\pm \sqrt{165}}{18}.$$

   Ответ:
   $$\left(-\frac23;\,-2\right),\;(1;\,-2),\;\left(\frac{3-\sqrt{165}}{18};\,-\frac13\right),\;\left(\frac{3+\sqrt{165}}{18};\,-\frac13\right).$$

6. е)

   Умножим первое уравнение на 2:
   $$4x^2+2y^2+8x+4y=30.$$
   Вычтем второе уравнение:
   $$7y^2+14y=105$$
   $$y^2+2y-15=0$$
   $$D=4+60=64,$$
   $$y_1=-5,\quad y_2=3.$$

   При $$y=-5$$:
   $$2x^2+25+4x-10=15$$
   $$2x^2+4x=0$$
   $$2x(x+2)=0,$$
   $$x=0 \text{ или } x=-2.$$

   При $$y=3$$:
   $$2x^2+9+4x+6=15$$
   $$2x^2+4x=0,$$
   $$x=0 \text{ или } x=-2.$$

   Ответ:
   $$(-2;\,-5),\;(0;\,-5),\;(-2;\,3),\;(0;\,3).$$