Дополнительная задача 6 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- 9. Докажите, что:
а) всякое решение неравенства $$m(x)\geq 0$$ является решением системы $$\left\{\begin{aligned} f(x)&\geq 0,\\ g(x)&\geq 0; \end{aligned}\right.$$
б) наоборот, всякое решение системы $$\left\{\begin{aligned} f(x)&\geq 0,\\ g(x)&\geq 0 \end{aligned}\right.$$ является решением неравенства $$m(x)\geq 0$$;
в) всякое решение неравенства $$m(x)\leq 7$$ является решением совокупности $$[f(x)\leq 7,\ g(x)\leq 7]$$;
г) наоборот, всякое решение совокупности $$[f(x)\leq 7,\ g(x)\leq 7]$$ является решением неравенства $$m(x)\leq 7$$;
д) неравенство $$m(x)>a$$ и система $$\left\{\begin{aligned} f(x)&>a,\\ g(x)&>a \end{aligned}\right.$$ равносильны, т. е. имеют одинаковые множества решений;
е) неравенство $$m(x)
Пусть $$m(x)=\max\{f(x),g(x)\}.$$ Тогда по определению максимума для любых значений $$x$$ выполняются неравенства
$$m(x)\ge f(x), \qquad m(x)\ge g(x).$$
Если же $$m(x)=f(x),$$ то автоматически $$f(x)\ge g(x)$$; если $$m(x)=g(x),$$ то $$g(x)\ge f(x).$$ Эти свойства и используются в каждом пункте.
Если $$m(x)\ge 0,$$ то оба значения $$f(x)$$ и $$g(x)$$ не превосходят $$m(x)$$ снизу, значит
$$f(x)\ge 0,\qquad g(x)\ge 0.$$
Следовательно, всякое решение неравенства $$m(x)\ge 0$$ является решением системы
$$\begin{cases}f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0.\end{cases}$$
Если
$$\begin{cases}f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0,\end{cases}$$
то максимум этих чисел тоже неотрицателен:
$$m(x)=\max\{f(x),g(x)\}\ge 0.$$
Значит, всякое решение системы является решением неравенства $$m(x)\ge 0.$$
Если $$m(x)\le 7,$$ то и каждое из чисел $$f(x), g(x)$$ не превосходит $$7,$$ поэтому
$$f(x)\le 7,\qquad g(x)\le 7.$$
Следовательно, всякое решение неравенства $$m(x)\le 7$$ является решением совокупности
$$\begin{cases}f(x)\le 7,\\ g(x)\le 7.\end{cases}$$
Если
$$\begin{cases}f(x)\le 7,\\ g(x)\le 7,\end{cases}$$
то и их максимум не превосходит $$7$$:
$$m(x)=\max\{f(x),g(x)\}\le 7.$$
Значит, всякое решение совокупности является решением неравенства $$m(x)\le 7.$$
Если $$m(x)>a,$$ то хотя бы одно из чисел $$f(x), g(x)$$ равно $$m(x),$$ а значит, больше $$a.$$ Поэтому
$$\begin{cases}f(x)>a,\\ g(x)>a\end{cases}$$
выполняется для тех же значений $$x,$$ что и неравенство $$m(x)>a.$$ Следовательно, они равносильны.
Если
$$\begin{cases}f(x)
то максимум этих чисел тоже меньше $$a$$:
$$m(x)=\max\{f(x),g(x)\}
Значит, неравенство $$m(x)
$$\begin{cases}f(x)
равносильны.
Множество решений на координатной плоскости изображается как пересечение областей, задаваемых соответствующими неравенствами для $$f(x)$$ и $$g(x)$$: для системы — общая часть, для совокупности — объединение областей.
Ответ
Все утверждения доказаны: пункты а), б), д), е) задают равносильные условия, а пункты в), г) устанавливают переход между неравенством для $$m(x)=\max\{f(x),g(x)\}$$ и совокупностью соответствующих неравенств.
