Дополнительная задача 6 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) xy=x+y; г) 2x+3y+3xy=0;
б) xy=x-y; д) y(1-2x)=4x;
в) xy+x+y=0; е) (x+2)(4-xy)=1.
$$xy=x+y$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$xy-x-y=0$$
Прибавим 1 к обеим частям:
$$xy-x-y+1=1$$
$$\left(x-1\right)\left(y-1\right)=1$$
Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то возможны только два случая:
$$x-1=1,\ y-1=1$$
или
$$x-1=-1,\ y-1=-1$$
Отсюда:
$$x=2,\ y=2$$
или
$$x=0,\ y=0$$
$$xy=x-y$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$xy-x+y=0$$
Прибавим 1:
$$xy-x+y-1=-1$$
$$\left(x+1\right)\left(y-1\right)=-1$$
Тогда:
$$x+1=-1,\ y-1=1$$
или
$$x+1=1,\ y-1=-1$$
Получаем:
$$x=-2,\ y=2$$
или
$$x=0,\ y=0$$
$$xy+x+y=0$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$xy+x+y+1=1$$
$$\left(x+1\right)\left(y+1\right)=1$$
Значит:
$$x+1=1,\ y+1=1$$
или
$$x+1=-1,\ y+1=-1$$
Отсюда:
$$x=0,\ y=0$$
или
$$x=-2,\ y=-2$$
$$2x+3y+3xy=0$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$2x+3y+3xy+2=2$$
$$\left(x+1\right)\left(3y+2\right)=2$$
Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, рассмотрим разложения числа $$2$$:
$$x+1=1,\ 3y+2=2$$
или
$$x+1=-1,\ 3y+2=-2$$
Из первого случая:
$$x=0,\ y=0$$
Из второго случая:
$$x=-2,\ y=-\frac{4}{3}$$
Второй случай не подходит, так как $$y$$ не целое. Значит, единственное решение:
$$x=0,\ y=0$$
$$y\left(1-2x\right)=4x$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$y-2xy-4x=0$$
Прибавим 2:
$$y-2xy-4x+2=2$$
$$\left(1-2x\right)\left(y+2\right)=2$$
Рассмотрим разложения числа $$2$$:
$$1-2x=1,\ y+2=2$$
или
$$1-2x=-1,\ y+2=-2$$
Тогда:
$$x=0,\ y=0$$
или
$$x=1,\ y=-4$$
$$\left(x+2\right)\left(4-xy\right)=1$$
Так как произведение двух целых чисел равно $$1$$, возможны два случая:
$$x+2=1,\ 4-xy=1$$
или
$$x+2=-1,\ 4-xy=-1$$
Из первого случая:
$$x=-1,\ xy=3,\ y=-3$$
Из второго случая:
$$x=-3,\ xy=5,\ y=\frac{5}{3}$$
Второй случай не подходит, так как $$y$$ не целое. Значит, решение:
$$x=-1,\ y=-3$$
Ответ
а) $$\left(0;0\right),\ \left(2;2\right)$$; б) $$\left(0;0\right),\ \left(-2;2\right)$$; в) $$\left(0;0\right),\ \left(-2;-2\right)$$; г) $$\left(0;0\right)$$; д) $$\left(0;0\right),\ \left(1;-4\right)$$; е) $$\left(-1;-3\right)$$.
