Упр.6.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) Постройте график функции y=f(x).
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [—3; 2].
в) При каком значении параметра р уравнение f(x)=p имеет более двух решений?
г) При каких значениях аргумента выполняются неравенства f(x)<0 и f(x)>0?
Функция задана по частям:
$$ f(x)= \begin{cases} -(x+1)^2+4, & -4\le x<1,\\ |x-3|-2, & 1\le x\le 6. \end{cases} $$
Построим график по частям.
На промежутке $$-4\le x<1$$ имеем параболу $$y=-(x+1)^2+4$$ с ветвями вниз. Её вершина: $$(-1;4)$$.
На концах промежутка:
$$f(-4)= -(-3)^2+4=-5,$$
$$f(1)=-(2)^2+4=0,$$
но точка $$x=1$$ не входит в первую часть функции.
На промежутке $$1\le x\le 6$$ имеем график модуля $$y=|x-3|-2$$. Его вершина: $$ (3;-2) $$.
Значения на концах:
$$f(1)=|1-3|-2=0,$$
$$f(6)=|6-3|-2=1.$$
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $$[-3;2]$$.
На отрезке $$[-3;1)$$ рассматриваем параболу $$y=-(x+1)^2+4$$. Её вершина при $$x=-1$$, и там достигается максимум:
$$f(-1)=4.$$
Проверим значения на концах и в точке стыка:
$$f(-3)= -(-2)^2+4=0,$$
$$f(1)=0,$$
$$f(2)=|2-3|-2=-1.$$
Наименьшее значение на $$[-3;2]$$ равно $$-1$$.
Рассмотрим уравнение $$f(x)=p$$ и выясним, при каких $$p$$ оно имеет более двух решений.
График первой части даёт значения от $$-5$$ до $$4$$, причём для уровней $$p\in(-2;1]$$ горизонтальная прямая пересекает его в двух точках.
График второй части даёт значения от $$-2$$ до $$1$$, и для $$p\in(-2;1]$$ он тоже даёт два решения, но при $$p=1$$ одно из них совпадает с точкой стыка, поэтому всего получается более двух решений.
Следовательно, уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух решений при
$$p\in(-2;1].$$
Найдём, при каких значениях аргумента выполняются неравенства.
Для первой части:
$$-(x+1)^2+4<0 \iff (x+1)^2>4 \iff x<-3 \text{ или } x>1.$$
С учётом области определения $$-4\le x<1$$ получаем:
$$f(x)<0,\quad x\in[-4;-3)\cup(1;5).$$
Для положительных значений:
$$-(x+1)^2+4>0 \iff (x+1)^2<4 \iff -3<x<1,$$
а для второй части
$$|x-3|-2>0 \iff |x-3|>2 \iff x<1 \text{ или } x>5.$$
С учётом области определения $$1\le x\le 6$$ получаем:
$$f(x)>0,\quad x\in(-3;1)\cup(5;6].$$
Ответ
а) График состоит из части параболы $$y=-(x+1)^2+4$$ при $$-4\le x<1$$ и части графика $$y=|x-3|-2$$ при $$1\le x\le 6$$.
б) $$y_{\max}=4,\quad y_{\min}=-1.$$
в) $$p\in(-2;1].$$
г) $$f(x)<0,\ x\in[-4;-3)\cup(1;5);$$ $$f(x)>0,\ x\in(-3;1)\cup(5;6].$$
