Упр.5.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {3x-2y-z=-4, 2x+y+z=6, x-y+3z=1};
б) {3x-2y+z=-5, x+2y-z=-3, 2x+3y+2z=-2};
в) {x+2y-z=-1, 2x+y+2z=4, x-y+2z=3};
г) {x-3y-z=5, 2x+y+3z=3, 3x+2y+z=4};
д) {-x+2y+z=1, 2x-y-z=2, x-y+2z=3};
е) {2x+2y-z=0, x+y-z=-1, x-2y+z=-3}.

1. а)

   Из первого уравнения выразим $$z$$:
   $$3x-2y-z=-4 \Rightarrow z=3x-2y+4.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$2x+y+3x-2y+4=6,$$
   $$5x-y-2=0,\quad y=5x-2.$$
   Подставим в выражение для $$z$$:
   $$z=3x-2(5x-2)+4=8-7x.$$
   Теперь подставим в третье уравнение:
   $$x-(5x-2)+3(8-7x)=1,$$
   $$25x=25,\quad x=1.$$
   Тогда
   $$y=5\cdot 1-2=3,\quad z=8-7\cdot 1=1.$$

   Ответ: $$ (1;\,3;\,1) $$

2. б)

   Из первого уравнения:
   $$3x-2y+z=-5 \Rightarrow z=2y-3x-5.$$
   Подставим во второе:
   $$x+2y-(2y-3x-5)=-3,$$
   $$4x=-8,\quad x=-2.$$
   Тогда
   $$z=2y+6-5=2y+1.$$
   Подставим в третье уравнение:
   $$2(-2)+3y+2(2y+1)=-2,$$
   $$7y=0,\quad y=0.$$
   Тогда
   $$z=0+1=1.$$

   Ответ: $$ (-2;\,0;\,1) $$

3. в)

   Из первого уравнения:
   $$x+2y-z=-1 \Rightarrow x=z-2y-1.$$
   Подставим во второе:
   $$2(z-2y-1)+y+2z=4,$$
   $$4z-3y=6,\quad z=\frac34y+\frac32.$$
   Тогда
   $$x=\frac34y+\frac32-2y-1=\frac12-\frac54y.$$
   Подставим в третье уравнение:
   $$\left(\frac12-\frac54y\right)-y+2\left(\frac34y+\frac32\right)=3,$$
   $$\frac34y=\frac12,\quad y=\frac23.$$
   Тогда
   $$x=\frac12-\frac54\cdot\frac23=-\frac13,\quad z=\frac34\cdot\frac23+\frac32=2.$$

   Ответ: $$ \left(-\frac13;\,\frac23;\,2\right) $$

4. г)

   Из первого уравнения:
   $$x-3y-z=5 \Rightarrow z=x-3y-5.$$
   Подставим во второе:
   $$2x+y+3(x-3y-5)=3,$$
   $$5x-8y=18,\quad x=\frac85y+\frac{18}{5}.$$
   Тогда
   $$z=\frac85y+\frac{18}{5}-3y-5=-\frac75y-\frac75.$$
   Подставим в третье уравнение:
   $$3\left(\frac85y+\frac{18}{5}\right)+2y-\frac75y-\frac75=4,$$
   $$\frac{27}{5}y=-\frac{27}{5},\quad y=-1.$$
   Тогда
   $$x=\frac85\cdot(-1)+\frac{18}{5}=2,\quad z=-\frac75\cdot(-1)-\frac75=0.$$

   Ответ: $$ (2;\,-1;\,0) $$

5. д)

   Из первого уравнения:
   $$-x+2y+z=1 \Rightarrow z=x-2y+1.$$
   Подставим во второе:
   $$2x-y-(x-2y+1)=2,$$
   $$x+y=3,\quad x=3-y.$$
   Тогда
   $$z=3-y-2y+1=4-3y.$$
   Подставим в третье уравнение:
   $$(3-y)-y+2(4-3y)=3,$$
   $$8y=8,\quad y=1.$$
   Тогда
   $$x=3-1=2,\quad z=4-3=1.$$

   Ответ: $$ (2;\,1;\,1) $$

6. е)

   Из первого уравнения:
   $$2x+2y-z=0 \Rightarrow z=2x+2y.$$
   Подставим во второе:
   $$x+y-(2x+2y)=-1,$$
   $$x+y=1,\quad x=1-y.$$
   Тогда
   $$z=2(1-y)+2y=2.$$
   Подставим в третье уравнение:
   $$(1-y)-2y+2=-3,$$
   $$3y=6,\quad y=2.$$
   Тогда
   $$x=1-2=-1.$$

   Ответ: $$ (-1;\,2;\,2) $$