Упр.5.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) {x^2+3y=15, x^2y=18}; в) {2x+y^2=10, xy^2=-48};
б) {3x+y^2=3, xy^2+y^4=45}; г) {x^2-y=6, x^4+x^2y=-4}.
а)
Из второго уравнения выразим $$x^2$$:
$$x^2y=18,\quad x^2=\frac{18}{y},\quad y\neq 0.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ \frac{18}{y}+3y=15. $$
Умножим на $$y$$:
$$ 18+3y^2=15y, $$
$$ 3y^2-15y+18=0, $$
$$ y^2-5y+6=0. $$
Тогда
$$ (y-2)(y-3)=0,\quad y=2 \text{ или } y=3. $$
Если $$y=2$$, то
$$ x^2=\frac{18}{2}=9,\quad x=\pm 3. $$
Если $$y=3$$, то
$$ x^2=\frac{18}{3}=6,\quad x=\pm \sqrt6. $$Ответ: $$(-3;2),\ (3;2),\ (-\sqrt6;3),\ (\sqrt6;3).$$
б)
Из первого уравнения:
$$ y^2=3-3x. $$
Подставим во второе:
$$ xy^2+y^4=45, $$
$$ x(3-3x)+(3-3x)^2=45. $$
Раскроем скобки:
$$ 3x-3x^2+9-18x+9x^2=45, $$
$$ 6x^2-15x-36=0, $$
$$ 2x^2-5x-12=0. $$
Найдём корни:
$$ D=25+96=121, $$
$$ x=\frac{5\pm 11}{4}. $$
Отсюда
$$ x_1=-\frac32,\quad x_2=4. $$
При $$x=-\frac32$$:
$$ y^2=3-3\left(-\frac32\right)=\frac{15}{2}, $$
$$ y=\pm \sqrt{\frac{15}{2}}. $$
При $$x=4$$:
$$ y^2=3-12=-9, $$
действительных решений нет.Ответ: $$\left(-\frac32;\sqrt{\frac{15}{2}}\right),\ \left(-\frac32;-\sqrt{\frac{15}{2}}\right).$$
в)
Из первого уравнения:
$$ y^2=10-2x. $$
Подставим во второе:
$$ xy^2=-48, $$
$$ x(10-2x)=-48. $$
Получаем:
$$ 10x-2x^2=-48, $$
$$ 2x^2-10x-48=0, $$
$$ x^2-5x-24=0. $$
Тогда
$$ (x-8)(x+3)=0,\quad x=8 \text{ или } x=-3. $$
Если $$x=8$$, то
$$ y^2=10-16=-6, $$
действительных решений нет.
Если $$x=-3$$, то
$$ y^2=10-2(-3)=16,\quad y=\pm 4. $$Ответ: $$(-3;-4),\ (-3;4).$$
г)
Из первого уравнения:
$$ x^2=y+6,\quad y=x^2-6. $$
Подставим во второе:
$$ x^4+x^2y=-4, $$
$$ x^4+x^2(x^2-6)=-4. $$
Тогда
$$ 2x^4-6x^2+4=0, $$
$$ x^4-3x^2+2=0. $$
Обозначим $$t=x^2$$:
$$ t^2-3t+2=0, $$
$$ (t-1)(t-2)=0,\quad t=1 \text{ или } t=2. $$
Если $$x^2=1$$, то $$x=\pm 1$$ и
$$ y=1-6=-5. $$
Если $$x^2=2$$, то $$x=\pm \sqrt2$$ и
$$ y=2-6=-4. $$Ответ: $$(-1;-5),\ (1;-5),\ (-\sqrt2;-4),\ (\sqrt2;-4).$$
