Упр.5.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений методом подстановки:

1. а) $$\begin{cases} x+y=7,\\ x^2-y^2=-7; \end{cases}$$ г) $$\begin{cases} x-y=2,\\ x^2-y^2=16; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} x-y=-5,\\ x^2+y^2=13; \end{cases}$$ д) $$\begin{cases} x-y=5,\\ x^2+y^2=17; \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} x+y=\frac{7}{6},\\ x^2-y^2=-\frac{7}{36}; \end{cases}$$ е) $$\begin{cases} x-y=-\frac{7}{6},\\ x^2+y^2=\frac{25}{36}. \end{cases}$$

1. а)

   $$x+y=7,\quad x^2-y^2=-7$$

   Из первого уравнения:

   $$y=7-x$$

   Подставим во второе:

   $$x^2-(7-x)^2=-7$$
   $$x^2-49+14x-x^2=-7$$
   $$14x=42,\quad x=3$$
   $$y=7-3=4$$

   Ответ: $$(3;\,4)$$

2. б)

   $$x-y=-5,\quad x^2+y^2=13$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x+5$$

   Подставим во второе:

   $$x^2+(x+5)^2=13$$
   $$x^2+x^2+10x+25=13$$
   $$2x^2+10x+12=0$$
   $$x^2+5x+6=0$$
   $$(x+2)(x+3)=0$$
   $$x=-2 \text{ или } x=-3$$

   Если $$x=-2,$$ то $$y=3.$$
   Если $$x=-3,$$ то $$y=2.$$

   Ответ: $$(-3;\,2),\;(-2;\,3)$$

3. в)

   $$x+y=\frac{7}{6},\quad x^2-y^2=-\frac{7}{36}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=\frac{7}{6}-x$$

   Подставим во второе:

   $$x^2-\left(\frac{7}{6}-x\right)^2=-\frac{7}{36}$$
   $$x^2-\frac{49}{36}+\frac{7}{3}x-x^2=-\frac{7}{36}$$
   $$\frac{7}{3}x=\frac{42}{36}$$
   $$x=\frac{1}{2}$$
   $$y=\frac{7}{6}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$

   Ответ: $$\left(\frac{1}{2};\,\frac{2}{3}\right)$$

4. г)

   $$x-y=2,\quad x^2-y^2=16$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x-2$$

   Подставим во второе:

   $$x^2-(x-2)^2=16$$
   $$x^2-x^2+4x-4=16$$
   $$4x=20,\quad x=5$$
   $$y=5-2=3$$

   Ответ: $$(5;\,3)$$

5. д)

   $$x-y=5,\quad x^2+y^2=17$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x-5$$

   Подставим во второе:

   $$x^2+(x-5)^2=17$$
   $$x^2+x^2-10x+25=17$$
   $$2x^2-10x+8=0$$
   $$x^2-5x+4=0$$
   $$(x-1)(x-4)=0$$
   $$x=1 \text{ или } x=4$$

   Если $$x=1,$$ то $$y=-4.$$
   Если $$x=4,$$ то $$y=-1.$$

   Ответ: $$(1;\,-4),\;(4;\,-1)$$

6. е)

   $$x-y=-\frac{7}{6},\quad x^2+y^2=\frac{25}{36}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x+\frac{7}{6}$$

   Подставим во второе:

   $$x^2+\left(x+\frac{7}{6}\right)^2=\frac{25}{36}$$
   $$x^2+x^2+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{25}{36}$$
   $$2x^2+\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}=0$$
   $$6x^2+7x+2=0$$
   $$(3x+2)(2x+1)=0$$
   $$x=-\frac{2}{3} \text{ или } x=-\frac{1}{2}$$

   Если $$x=-\frac{2}{3},$$ то $$y=\frac{1}{2}.$$
   Если $$x=-\frac{1}{2},$$ то $$y=\frac{2}{3}.$$

   Ответ: $$\left(-\frac{2}{3};\,\frac{1}{2}\right),\;\left(-\frac{1}{2};\,\frac{2}{3}\right)$$