Упр.5.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {x+y=7, x^2-y^2=-7}; г) {x-y=2, x^2-y^2=16};
б) {x-y=-5, x^2+y^2=13}; д) {x-y=5, x^2+y^2=17};
в) {x+y=7/6, x^2-y^2=-7/36}; е) {x-y=-7/6, x^2+y^2=25/36}.

1. а)

   $$x+y=7,\quad x^2-y^2=-7$$

   Из первого уравнения:

   $$y=7-x$$

   Подставим во второе:

   $$ x^2-(7-x)^2=-7 $$
   $$ x^2-49+14x-x^2=-7 $$
   $$ 14x=42,\quad x=3 $$
   $$ y=7-3=4 $$

   Ответ: $$(3;\,4)$$

2. б)

   $$x-y=-5,\quad x^2+y^2=13$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x+5$$

   Подставим во второе:

   $$ x^2+(x+5)^2=13 $$
   $$ x^2+x^2+10x+25=13 $$
   $$ 2x^2+10x+12=0 $$
   $$ x^2+5x+6=0 $$
   $$ (x+2)(x+3)=0 $$
   $$ x=-2 \text{ или } x=-3 $$

   Если $$x=-2,$$ то $$y=3.$$
   Если $$x=-3,$$ то $$y=2.$$

   Ответ: $$(-3;\,2),\;(-2;\,3)$$

3. в)

   $$x+y=\frac{7}{6},\quad x^2-y^2=-\frac{7}{36}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=\frac{7}{6}-x$$

   Подставим во второе:

   $$ x^2-\left(\frac{7}{6}-x\right)^2=-\frac{7}{36} $$
   $$ x^2-\frac{49}{36}+\frac{7}{3}x-x^2=-\frac{7}{36} $$
   $$ \frac{7}{3}x=\frac{42}{36} $$
   $$ x=\frac{1}{2} $$
   $$ y=\frac{7}{6}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3} $$

   Ответ: $$\left(\frac{1}{2};\,\frac{2}{3}\right)$$

4. г)

   $$x-y=2,\quad x^2-y^2=16$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x-2$$

   Подставим во второе:

   $$ x^2-(x-2)^2=16 $$
   $$ x^2-x^2+4x-4=16 $$
   $$ 4x=20,\quad x=5 $$
   $$ y=5-2=3 $$

   Ответ: $$(5;\,3)$$

5. д)

   $$x-y=5,\quad x^2+y^2=17$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x-5$$

   Подставим во второе:

   $$ x^2+(x-5)^2=17 $$
   $$ x^2+x^2-10x+25=17 $$
   $$ 2x^2-10x+8=0 $$
   $$ x^2-5x+4=0 $$
   $$ (x-1)(x-4)=0 $$
   $$ x=1 \text{ или } x=4 $$

   Если $$x=1,$$ то $$y=-4.$$
   Если $$x=4,$$ то $$y=-1.$$

   Ответ: $$(1;\,-4),\;(4;\,-1)$$

6. е)

   $$x-y=-\frac{7}{6},\quad x^2+y^2=\frac{25}{36}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x+\frac{7}{6}$$

   Подставим во второе:

   $$ x^2+\left(x+\frac{7}{6}\right)^2=\frac{25}{36} $$
   $$ x^2+x^2+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{25}{36} $$
   $$ 2x^2+\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}=0 $$
   $$ 6x^2+7x+2=0 $$
   $$ (3x+2)(2x+1)=0 $$
   $$ x=-\frac{2}{3} \text{ или } x=-\frac{1}{2} $$

   Если $$x=-\frac{2}{3},$$ то $$y=\frac{1}{2}.$$
   Если $$x=-\frac{1}{2},$$ то $$y=\frac{2}{3}.$$

   Ответ: $$\left(-\frac{2}{3};\,\frac{1}{2}\right),\;\left(-\frac{1}{2};\,\frac{2}{3}\right)$$