Упр.5.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {1/x+1/y=5/6, 2y-x=1}; г) {5/(2y)-1/x=1/3, x-y=-1};
б) {2x-y=3, -1/(2y)+1/(4x)=2/3}; д) {6x-y=5, 1/x+9/(4y)=3(1/4)};
в) {5/x+4/y=2+12/(xy), x-y=3}; е) {4/x+3/y=1+12/(xy), x-y=1}.

1. а)

   Из второго уравнения выразим $$x$$:
   $$x=2y-1.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ \frac{1}{2y-1}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}. $$
   Умножим на $$6y(2y-1)$$:
   $$ 6y+6(2y-1)=5y(2y-1). $$
   $$ 6y+12y-6=10y^2-5y. $$
   $$ 10y^2-23y+6=0. $$
   $$ D=23^2-4\cdot 10\cdot 6=289. $$
   $$ y_1=\frac{23-17}{20}=\frac{3}{10}, \qquad y_2=\frac{23+17}{20}=2. $$
   Тогда
   $$ x_1=2\cdot \frac{3}{10}-1=-\frac{2}{5}, \qquad x_2=2\cdot 2-1=3. $$

   Ответ: $$\left(-\frac{2}{5};\frac{3}{10}\right),\ (3;2).$$

2. б)

   Из первого уравнения:
   $$y=2x-3.$$
   Подставим во второе:
   $$ -\frac{1}{2(2x-3)}+\frac{1}{4x}=\frac{2}{3}. $$
   Умножим на $$12x(2x-3)$$:
   $$ -6x+3(2x-3)=8x(2x-3). $$
   $$ -6x+6x-9=16x^2-24x. $$
   $$ 16x^2-24x+9=0. $$
   $$ (4x-3)^2=0,\qquad x=\frac{3}{4}. $$
   Тогда
   $$ y=2\cdot \frac{3}{4}-3=-\frac{3}{2}. $$

   Ответ: $$\left(\frac{3}{4};-\frac{3}{2}\right).$$

3. в)

   Из второго уравнения:
   $$y=x-3.$$
   Подставим в первое:
   $$ \frac{5}{x}+\frac{4}{x-3}=2+\frac{12}{x(x-3)}. $$
   Умножим на $$x(x-3)$$:
   $$ 5(x-3)+4x=2x(x-3)+12. $$
   $$ 5x-15+4x=2x^2-6x+12. $$
   $$ 2x^2-15x+27=0. $$
   $$ D=15^2-4\cdot 2\cdot 27=9. $$
   $$ x_1=\frac{15-3}{4}=3,\qquad x_2=\frac{15+3}{4}=\frac{9}{2}. $$
   Тогда
   $$ y_1=3-3=0,\qquad y_2=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}. $$

   Ответ: $$\left(3;0\right),\ \left(\frac{9}{2};\frac{3}{2}\right).$$

4. г)

   Из второго уравнения:
   $$y=x+1.$$
   Подставим в первое:
   $$ \frac{5}{2(x+1)}-\frac{1}{x}=\frac{1}{3}. $$
   Умножим на $$6x(x+1)$$:
   $$ 15x-6(x+1)=2x(x+1). $$
   $$ 15x-6x-6=2x^2+2x. $$
   $$ 2x^2-7x+6=0. $$
   $$ D=7^2-4\cdot 2\cdot 6=1. $$
   $$ x_1=\frac{7-1}{4}=\frac{3}{2},\qquad x_2=\frac{7+1}{4}=2. $$
   Тогда
   $$ y_1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2},\qquad y_2=2+1=3. $$

   Ответ: $$\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right),\ (2;3).$$

5. д)

   Из первого уравнения:
   $$y=6x-5.$$
   Во втором уравнении $$3\frac14=\frac{13}{4}$$, поэтому
   $$ \frac{1}{x}+\frac{9}{4y}=\frac{13}{4}. $$
   Подставим $$y=6x-5$$:
   $$ \frac{1}{x}+\frac{9}{4(6x-5)}=\frac{13}{4}. $$
   Умножим на $$4x(6x-5)$$:
   $$ 4(6x-5)+9x=13x(6x-5). $$
   $$ 24x-20+9x=78x^2-65x. $$
   $$ 78x^2-98x+20=0. $$
   $$ 39x^2-49x+10=0. $$
   $$ D=49^2-4\cdot 39\cdot 10=841. $$
   $$ x_1=\frac{49-29}{78}=\frac{10}{39},\qquad x_2=\frac{49+29}{78}=1. $$
   Тогда
   $$ y_1=6\cdot \frac{10}{39}-5=-\frac{38}{13},\qquad y_2=6-5=1. $$

   Ответ: $$\left(\frac{10}{39};-\frac{38}{13}\right),\ (1;1).$$

6. е)

   Из второго уравнения:
   $$y=x-1.$$
   Подставим в первое:
   $$ \frac{4}{x}+\frac{3}{x-1}=1+\frac{12}{x(x-1)}. $$
   Умножим на $$x(x-1)$$:
   $$ 4(x-1)+3x=x(x-1)+12. $$
   $$ 4x-4+3x=x^2-x+12. $$
   $$ x^2-8x+16=0. $$
   $$ (x-4)^2=0,\qquad x=4. $$
   Тогда
   $$ y=4-1=3. $$

   Ответ: $$\left(4;3\right).$$