Упр.5.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений методом подстановки:
а) $$\left\{\begin{aligned}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}&=\frac{5}{6},\\2y-x&=1;\end{aligned}\right.$$
б) $$\left\{\begin{aligned}2x-y&=3,\\-\frac{1}{2y}+\frac{1}{4x}&=\frac{2}{3};\end{aligned}\right.$$
в) $$\left\{\begin{aligned}\frac{5}{x}+\frac{4}{y}&=2+\frac{12}{xy},\\x-y&=3;\end{aligned}\right.$$
г) $$\left\{\begin{aligned}\frac{5}{2y}-\frac{1}{x}&=\frac{1}{3},\\x-y&=-1;\end{aligned}\right.$$
д) $$\left\{\begin{aligned}6x-y&=5,\\\frac{1}{x}+\frac{9}{4y}&=3\left(\frac{1}{4}\right);\end{aligned}\right.$$
е) $$\left\{\begin{aligned}\frac{4}{x}+\frac{3}{y}&=1+\frac{12}{xy},\\x-y&=1.\end{aligned}\right.$$
а)
Из второго уравнения выразим $$x$$:
$$x=2y-1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{2y-1}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}.$$
Умножим на $$6y(2y-1)$$:
$$6y+6(2y-1)=5y(2y-1).$$
$$6y+12y-6=10y^2-5y.$$
$$10y^2-23y+6=0.$$
$$D=23^2-4\cdot 10\cdot 6=289.$$
$$y_1=\frac{23-17}{20}=\frac{3}{10}, \qquad y_2=\frac{23+17}{20}=2.$$
Тогда
$$x_1=2\cdot \frac{3}{10}-1=-\frac{2}{5}, \qquad x_2=2\cdot 2-1=3.$$Ответ: $$\left(-\frac{2}{5};\frac{3}{10}\right),\ (3;2).$$
б)
Из первого уравнения:
$$y=2x-3.$$
Подставим во второе:
$$-\frac{1}{2(2x-3)}+\frac{1}{4x}=\frac{2}{3}.$$
Умножим на $$12x(2x-3)$$:
$$-6x+3(2x-3)=8x(2x-3).$$
$$-6x+6x-9=16x^2-24x.$$
$$16x^2-24x+9=0.$$
$$(4x-3)^2=0,\qquad x=\frac{3}{4}.$$
Тогда
$$y=2\cdot \frac{3}{4}-3=-\frac{3}{2}.$$Ответ: $$\left(\frac{3}{4};-\frac{3}{2}\right).$$
в)
Из второго уравнения:
$$y=x-3.$$
Подставим в первое:
$$\frac{5}{x}+\frac{4}{x-3}=2+\frac{12}{x(x-3)}.$$
Умножим на $$x(x-3)$$:
$$5(x-3)+4x=2x(x-3)+12.$$
$$5x-15+4x=2x^2-6x+12.$$
$$2x^2-15x+27=0.$$
$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 27=9.$$
$$x_1=\frac{15-3}{4}=3,\qquad x_2=\frac{15+3}{4}=\frac{9}{2}.$$
Тогда
$$y_1=3-3=0,\qquad y_2=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}.$$Ответ: $$\left(3;0\right),\ \left(\frac{9}{2};\frac{3}{2}\right).$$
г)
Из второго уравнения:
$$y=x+1.$$
Подставим в первое:
$$\frac{5}{2(x+1)}-\frac{1}{x}=\frac{1}{3}.$$
Умножим на $$6x(x+1)$$:
$$15x-6(x+1)=2x(x+1).$$
$$15x-6x-6=2x^2+2x.$$
$$2x^2-7x+6=0.$$
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot 6=1.$$
$$x_1=\frac{7-1}{4}=\frac{3}{2},\qquad x_2=\frac{7+1}{4}=2.$$
Тогда
$$y_1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2},\qquad y_2=2+1=3.$$Ответ: $$\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right),\ (2;3).$$
д)
Из первого уравнения:
$$y=6x-5.$$
Во втором уравнении $$3\frac14=\frac{13}{4}$$, поэтому
$$\frac{1}{x}+\frac{9}{4y}=\frac{13}{4}.$$
Подставим $$y=6x-5$$:
$$\frac{1}{x}+\frac{9}{4(6x-5)}=\frac{13}{4}.$$
Умножим на $$4x(6x-5)$$:
$$4(6x-5)+9x=13x(6x-5).$$
$$24x-20+9x=78x^2-65x.$$
$$78x^2-98x+20=0.$$
$$39x^2-49x+10=0.$$
$$D=49^2-4\cdot 39\cdot 10=841.$$
$$x_1=\frac{49-29}{78}=\frac{10}{39},\qquad x_2=\frac{49+29}{78}=1.$$
Тогда
$$y_1=6\cdot \frac{10}{39}-5=-\frac{38}{13},\qquad y_2=6-5=1.$$Ответ: $$\left(\frac{10}{39};-\frac{38}{13}\right),\ (1;1).$$
е)
Из второго уравнения:
$$y=x-1.$$
Подставим в первое:
$$\frac{4}{x}+\frac{3}{x-1}=1+\frac{12}{x(x-1)}.$$
Умножим на $$x(x-1)$$:
$$4(x-1)+3x=x(x-1)+12.$$
$$4x-4+3x=x^2-x+12.$$
$$x^2-8x+16=0.$$
$$(x-4)^2=0,\qquad x=4.$$
Тогда
$$y=4-1=3.$$Ответ: $$\left(4;3\right).$$
