Дополнительная задача 5 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1) Сколько членов этой прогрессии являются:
а) отрицательными числами;
б) однозначными натуральными числами;
в) числами, меньшими 10?
2) На каком месте в прогрессии расположен член, который:
а) равен 99;
б) является наибольшим из трёхзначных чисел в этой прогрессии;
в) удалён от числа 2018 на наименьшее расстояние?
По треугольнику Паскаля вычислите число сочетаний:
а) C(1; 7); в) C(7; 7); д) C(5; 8);
б) C(4; 7); г) C(2; 8); е) C(4; 9).
В секции холодильника с мороженым 3 эскимо, 4 пломбира и 3 рожка.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_2=a_1+d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_{10}=a_1+9d,$$

$$a_7=a_1+6d,\quad a_{11}=a_1+10d.$$

По условию:

$$ \begin{aligned} a_2+a_4+a_{10}&=25,\\ a_7+a_{11}&=46. \end{aligned} $$

Подставим выражения для членов прогрессии:

$$ \begin{aligned} (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+9d)&=25,\\ (a_1+6d)+(a_1+10d)&=46. \end{aligned} $$

Получаем систему:

$$ \begin{aligned} 3a_1+13d&=25,\\ 2a_1+16d&=46. \end{aligned} $$

Из второго уравнения:

$$a_1+8d=23,\quad a_1=23-8d.$$

Подставим в первое:

$$3(23-8d)+13d=25,$$

$$69-24d+13d=25,$$

$$69-11d=25,$$

$$11d=44,\quad d=4.$$

Тогда

$$a_1=23-8\cdot 4=-9.$$

Общий член прогрессии:

$$ a_n=a_1+d(n-1)=-9+4(n-1)=4n-13. $$

1) Найдём количество членов:

1. Отрицательные: $$4n-13<0,$$ значит $$4n<13,$$ $$n<3{,}25.$$ Следовательно, отрицательными являются первые 3 члена.
2. Однозначные натуральные: $$1\le 4n-13\le 9,$$ откуда $$14\le 4n\le 22,$$ $$3{,}5\le n\le 5{,}5.$$ Значит, подходят $$n=4,5,$$ всего 2 члена.
3. Меньшие 10: $$4n-13<10,$$ $$4n<23,$$ $$n<5{,}75.$$ Значит, это первые 5 членов.

2) Найдём номера нужных членов:

1. $$4n-13=99,$$ $$4n=112,$$ $$n=28.$$
2. Наибольшее трёхзначное число в прогрессии — $$999$$. Тогда $$4n-13=999,$$ $$4n=1012,$$ $$n=253.$$
3. Член, удалённый от $$2018$$ на наименьшее расстояние, должен быть ближайшим к этому числу. Решаем:

$$4n-13\approx 2018,$$

$$4n\approx 2031,$$

$$n\approx 507{,}75.$$

Ближайший номер — $$n=508$$.

По треугольнику Паскаля:

$$ C_7^1=7,\quad C_7^4=35,\quad C_7^7=1,\quad C_8^2=28,\quad C_8^5=56,\quad C_9^4=126. $$

В секции холодильника всего

$$3+4+3=10$$

видов мороженого.

Ответ

1) а) 3; б) 2; в) 5. 2) а) 28; б) 253; в) 508. $$C_7^1=7,$$ $$C_7^4=35,$$ $$C_7^7=1,$$ $$C_8^2=28,$$ $$C_8^5=56,$$ $$C_9^4=126.$$ В секции холодильника 10 штук мороженого.