Дополнительная задача 5 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1) Сколько членов этой прогрессии являются:
а) отрицательными числами;
б) однозначными натуральными числами;
в) числами, меньшими 10?
2) На каком месте в прогрессии расположен член, который:
а) равен 99;
б) является наибольшим из трёхзначных чисел в этой прогрессии;
в) удалён от числа 2018 на наименьшее расстояние?

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_n=a_1+d(n-1).$$

По условию:

$$a_2+a_4+a_{10}=25,$$

$$a_7+a_{11}=46.$$

Запишем через $$a_1$$ и $$d$$:

$$ (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+9d)=25, $$

$$ (a_1+6d)+(a_1+10d)=46. $$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 3a_1+13d=25,\\ 2a_1+16d=46. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$2a_1+16d=46 \Rightarrow a_1+8d=23 \Rightarrow a_1=23-8d.$$

Подставим в первое:

$$ 3(23-8d)+13d=25, $$

$$ 69-24d+13d=25, $$

$$ -11d=-44,\quad d=4. $$

Тогда

$$a_1=23-8\cdot 4=-9.$$

Следовательно,

$$a_n=-9+4(n-1)=4n-13.$$

1) Найдём количество членов прогрессии:

а) отрицательных чисел:

$$4n-13<0 \Rightarrow 4n<13 \Rightarrow n<3{,}25.$$

Подходят $$n=1,2,3$$, значит, таких членов 3.

б) однозначных натуральных чисел:

$$1\le 4n-13\le 9.$$

$$ 14\le 4n\le 22 \Rightarrow 3{,}5\le n\le 5{,}5. $$

Подходят $$n=4,5$$, значит, таких членов 2.

в) чисел, меньших 10:

$$4n-13<10 \Rightarrow 4n<23 \Rightarrow n<5{,}75.$$

Подходят $$n=1,2,3,4,5$$, значит, таких членов 5.

2) Найдём номер нужного члена:

а) $$a_n=99$$:

$$4n-13=99 \Rightarrow 4n=112 \Rightarrow n=28.$$

б) наибольший из трёхзначных чисел в этой прогрессии — это $$999$$:

$$4n-13=999 \Rightarrow 4n=1012 \Rightarrow n=253.$$

в) число, удалённое от $$2018$$ на наименьшее расстояние, — ближайший к нему член прогрессии. Решим:

$$4n-13\approx 2018 \Rightarrow 4n\approx 2031 \Rightarrow n\approx 507{,}75.$$

Проверяем соседние номера:

$$a_{507}=4\cdot 507-13=2015,$$

$$a_{508}=4\cdot 508-13=2019.$$

До числа $$2018$$ оба значения удалены на $$3$$ и $$1$$ соответственно, значит, ближайший член — $$a_{508}$$.

Ответ

1) а) 3; б) 2; в) 5. 2) а) 28; б) 253; в) 508.