Упр.5.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Постройте график функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}x^2-1, & \text{если } -2\leq x<1,\\1-x, & \text{если } 1\leq x\leq 3.\end{cases}$$ Найдите: а) наибольшее и наименьшее значения функции; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) корни уравнения $$f(x)=0$$; г) значения аргумента, при которых $$y>0$$, $$y<0$$.
Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} x^2-1, & -2\le x<1,\\ 1-x, & 1\le x\le 3. \end{cases}$$
Рассмотрим каждую часть отдельно.
1) На промежутке $$[-2;1)$$ имеем параболу $$y=x^2-1$$, ветви которой направлены вверх. Её вершина находится в точке $$x=0$$, поэтому
$$f(0)=0^2-1=-1.$$
На концах промежутка:
$$f(-2)=(-2)^2-1=3,\qquad \lim_{x\to 1-}(x^2-1)=0.$$
2) На промежутке $$[1;3]$$ имеем прямую $$y=1-x$$, которая убывает. Значения на концах:
$$f(1)=1-1=0,\qquad f(3)=1-3=-2.$$
Теперь определим свойства функции.
а) Наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее значение достигается при $$x=-2$$:
$$y_{\max}=3.$$
Наименьшее значение достигается при $$x=3$$:
$$y_{\min}=-2.$$
б) Промежутки возрастания и убывания.
На $$[-2;0]$$ функция $$y=x^2-1$$ убывает, на $$[0;1)$$ возрастает. На $$[1;3]$$ функция $$y=1-x$$ убывает.
Значит, функция:
- возрастает на $$[0;1]$$;
- убывает на $$[-2;0] \cup [1;3]$$.
в) Корни уравнения $$f(x)=0$$.
Решаем по частям:
$$x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=1.$$
Точка $$x=1$$ принадлежит второй части функции, и там тоже получаем ноль:
$$1-1=0.$$
Следовательно, корни уравнения:
$$x=-1,\; x=1.$$
г) При каких значениях аргумента $$y>0$$ и $$y<0$$.
Для первой части:
$$x^2-1>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>1.$$
С учётом области определения $$[-2;1)$$ получаем:
$$y>0 \text{ при } x\in[-2;-1).$$
Для второй части:
$$1-x<0 \Rightarrow x>1,$$
то есть на $$[1;3]$$ имеем
$$y<0 \text{ при } x\in(1;3].$$
Кроме того, на первой части $$y<0$$ при
$$-1<x<1.$$
Итак,
$$y<0 \text{ при } x\in(-1;1)\cup(1;3].$$
Ответ
а) $$y_{\max}=3,\; y_{\min}=-2$$;
б) возрастает на $$[0;1]$$, убывает на $$[-2;0]\cup[1;3]$$;
в) $$x=-1,\; x=1$$;
г) $$y>0$$ при $$x\in[-2;-1)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-1;1)\cup(1;3]$$.
