Упр.5.12 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) x?[-2; 2]; б) x?(-1; 2]; в) x?[0; 3]; г) x?[-2; 4).

Функция $$y=-|x-1|+2$$ задаёт график модуля, отражённый относительно оси $$Ox$$ и сдвинутый вверх на $$2$$. Вершина графика находится в точке $$ (1;2) $$.

Запишем функцию по частям:

$$ y= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ -x+3, & x\ge 1. \end{cases} $$

По графику видно, что наибольшее значение функции равно $$2$$, а наименьшее зависит от рассматриваемого промежутка значений $$x$$.

1. Если $$x\in[-2;2]$$, то минимальное значение достигается при $$x=-2$$ или $$x=2$$:

   $$y(-2)=-|-2-1|+2=-3+2=-1,$$

   $$y(2)=-|2-1|+2=-1+2=1.$$

   Значит, $$y\in[-1;2].$$

2. Если $$x\in(-1;2]$$, то при $$x\to -1+$$ получаем $$y\to 0$$, но значение $$0$$ не достигается, так как $$x=-1$$ не входит в промежуток. Максимум по-прежнему равен $$2$$.

   Значит, $$y\in(0;2].$$

3. Если $$x\in[0;3]$$, то наименьшее значение равно $$0$$, оно достигается при $$x=3$$:

   $$y(3)=-|3-1|+2=-2+2=0.$$

   Значит, $$y\in[0;2].$$

4. Если $$x\in[-2;4)$$, то наименьшее значение равно $$-1$$, оно достигается при $$x=-2$$:

   $$y(-2)=-|-2-1|+2=-3+2=-1.$$

   Максимум равен $$2$$.

   Значит, $$y\in[-1;2].$$

Ответ

а) $$y\in[-1;2]$$; б) $$y\in(0;2]$$; в) $$y\in[0;2]$$; г) $$y\in[-1;2]$$.