Упр.4.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) имеет два решения;
б) имеет единственное решение?

Из второго уравнения выразим y:

$$x^2-y+p=0$$

$$y=x^2+p$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+(x^2+p)^2=9$$

Обозначим $$t=x^2$$, тогда $$t\ge 0$$ и получаем:

$$t+(t+p)^2=9$$

$$t^2+(2p+1)t+(p^2-9)=0$$

Число решений исходной системы равно числу неотрицательных корней уравнения относительно $$t$$, так как каждому $$t>0$$ соответствуют два значения $$x=\pm\sqrt{t}$$, а при $$t=0$$ — одно значение $$x=0$$.

Геометрически это означает пересечение окружности $$x^2+y^2=9$$ и параболы $$y=x^2+p$$.

Чтобы система имела:

• два решения, парабола должна касаться окружности в одной точке с положительной абсциссой и симметричной ей точке с отрицательной абсциссой, то есть быть ниже вершины окружности, но не пересекать её в трёх или четырёх точках. Это происходит при $$-3<p<3$$;
• единственное решение, парабола должна касаться окружности в одной точке при $$p=3$$.

При $$p=-3$$ получается ещё одна точка касания внизу, но это уже не единственное решение.

Ответ

а) $$-3<p<3$$;

б) $$p=3$$.