Упр.4.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {x^2+y^2=9, x-y=1}; б) {x^2+y^2=16, x+y=3}.
в) {x^2-y=2, y=v(x+1)-1}; д) {(x-2)^2-y=0, y=|x-2|};
г) {(x-1)^2+(y-1)^2=25, |x-1|-y=4}; е) {(x+2)^2+(y-1)^2=4, y=-v(x+2)-1}?

1. а) Из второго уравнения получаем $$y=x-1.$$ Подставим в первое:

   $$x^2+(x-1)^2=9$$

   $$x^2+x^2-2x+1=9$$

   $$2x^2-2x-8=0$$

   $$x^2-x-4=0.$$

   У этого квадратного уравнения два различных корня, значит система имеет 2 решения.

2. б) Из второго уравнения:

   $$y=3-x.$$

   Подставим в первое:

   $$x^2+(3-x)^2=16$$

   $$x^2+9-6x+x^2=16$$

   $$2x^2-6x-7=0.$$

   Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два различных корня. Следовательно, система имеет 2 решения.

3. в) Из первого уравнения:

   $$y=x^2-2.$$

   Из второго уравнения:

   $$y=\sqrt{x+1}-1.$$

   Рассмотрим точки пересечения графиков. Приравняем:

   $$x^2-2=\sqrt{x+1}-1$$

   $$x^2-1=\sqrt{x+1}.$$

   Проверка показывает две точки пересечения, значит система имеет 2 решения.

4. г) Из второго уравнения:

   $$y=|x-1|-4.$$

   Первое уравнение — окружность с центром $$ (1,1) $$ и радиусом $$5$$. Графики пересекаются в трёх точках, значит система имеет 3 решения.

5. д) Из первого уравнения:

   $$y=(x-2)^2.$$

   Из второго уравнения:

   $$y=|x-2|.$$

   Обозначим $$t=|x-2| \ge 0$$. Тогда

   $$t^2=t,$$

   $$t(t-1)=0.$$

   Отсюда $$t=0$$ или $$t=1$$.

   При $$t=0$$: $$x=2$$, $$y=0$$.

   При $$t=1$$: $$x=1$$ или $$x=3$$, $$y=1$$.

   Получаем три точки пересечения, значит система имеет 3 решения.

6. е) Из второго уравнения:

   $$y=-\sqrt{x+2}-1.$$

   Первое уравнение — окружность с центром $$(-2,1)$$ и радиусом $$2$$. Графики касаются в одной точке, значит система имеет 1 решение.

Ответ

а) 2; б) 2; в) 2; г) 3; д) 3; е) 1.