Дополнительная задача 4 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) x_3; б) x_8; в) x_15; г) n, если x_n=-6; д) n, если x_n=-9;
е) номер члена последовательности, который удалён от числа —3,5 на наименьшее расстояние. Для чисел сочетаний проверьте равенства и указанные для них места в треугольнике Паскаля.
а) C(1; 4)=4 — четвёртая строка, место № 1;
б) C(2; 3)=3 — третья строка, место № 2;
в) C(2; 5)=10 — пятая строка, место № 2;
г) C(5; 5)=1 — пятая строка, место № 5;
д) C(3; 6)=20 — шестая строка, место № 3;
е) C(4; 6)=15 — шестая строка, место № 4.
Преобразуем общий член последовательности:
$$ x_n=\left(n^{-1}-\sqrt{n^{-1}+n^{-2}}\right)^{-1} $$
$$ x_n=\left(\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)^{-1} =\left(\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}\right)^{-1} =\left(\frac{1}{n}-\frac{\sqrt{n+1}}{n}\right)^{-1} =\left(\frac{1-\sqrt{n+1}}{n}\right)^{-1} =\frac{n}{1-\sqrt{n+1}}. $$
а)
$$ x_3=\frac{3}{1-\sqrt{4}}=\frac{3}{1-2}=-3. $$
б)
$$ x_8=\frac{8}{1-\sqrt{9}}=\frac{8}{1-3}=-4. $$
в)
$$ x_{15}=\frac{15}{1-\sqrt{16}}=\frac{15}{1-4}=-5. $$
г)
$$ \frac{n}{1-\sqrt{n+1}}=-6 $$
$$ n=6\sqrt{n+1}-6 $$
$$ 6\sqrt{n+1}=n+6 $$
$$ 36(n+1)=n^2+12n+36 $$
$$ n^2-24n=0 $$
$$ n(n-24)=0 $$
Так как $n$ — номер члена последовательности, то $n=24$.
д)
$$ \frac{n}{1-\sqrt{n+1}}=-9 $$
$$ n=9\sqrt{n+1}-9 $$
$$ 9\sqrt{n+1}=n+9 $$
$$ 81(n+1)=n^2+18n+81 $$
$$ n^2-63n=0 $$
$$ n(n-63)=0 $$
Следовательно, $n=63$.
е)
Найдём номер члена, ближайшего к числу $-3{,}5$:
$$ \frac{n}{1-\sqrt{n+1}}=-3{,}5 $$
$$ 2n=7\sqrt{n+1}-7 $$
$$ 7\sqrt{n+1}=2n+7 $$
$$ 49(n+1)=4n^2+28n+49 $$
$$ 4n^2-21n=0 $$
$$ n(4n-21)=0 $$
Отсюда $n=5{,}25$. Ближайший номер члена последовательности — $5$.
Проверим равенства для чисел сочетаний:
а) $$C_4^1=4$$ — верно;
б) $$C_3^2=\frac{3!}{2!\,1!}=3$$ — верно;
в) $$C_5^2=\frac{5!}{2!\,3!}=10$$ — верно;
г) $$C_5^5=1$$ — верно;
д) $$C_6^3=\frac{6!}{3!\,3!}=20$$ — верно;
е) $$C_6^4=\frac{6!}{4!\,2!}=15$$ — верно.
Ответ
а) $$-3$$; б) $$-4$$; в) $$-5$$; г) $$24$$; д) $$63$$; е) $$5$$.
Все равенства для чисел сочетаний верны.
