Дополнительная задача 4 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Функция $$y=f(x)$$ определена на промежутках $$I$$ и $$J$$. На каждом из них она линейна и принимает указанные значения. Нарисуйте её график.
а) $$I=(-\infty;0),\ J=[0;+\infty),\ f(-1)=1,\ f(-3)=3,\ f(0)=0,\ f(1)=2$$;
б) $$I=(-\infty;0],\ J=(0;+\infty),\ f(-2)=4,\ f(0)=2,\ f(1)=3,\ f(3)=5$$;
в) $$I=(-\infty;1),\ J=(1;+\infty),\ f(-2)=0,\ f(0)=2,\ f(2)=0,\ f(3)=-1$$;
г) $$I=(-\infty;-1],\ J=[2;+\infty),\ f(-4)=0,\ f(-1)=-3,\ f(3)=1,\ f(4)=0$$;
д) $$I=[-5;-1],\ J=[0;4],\ f(-3)=1,\ f(-2)=2,\ f(1)=1,\ f(2)=3$$;
е) $$I=(-\infty;-1),\ J=(0;3),\ f(-5)=0,\ f(-3)=-4,\ f(1)=3,\ f(2)=0$$.
Для последовательности $$x_n=\left(n^{-1}-\sqrt{n^{-1}+n^{-2}}\right)^{-1}$$ найдите:
а) $$x_3$$;
б) $$x_8$$;
в) $$x_{15}$$;
г) $$n$$, если $$x_n=-6$$;
д) $$n$$, если $$x_n=-9$$;
е) номер члена последовательности, который удалён от числа $$-3{,}5$$ на наименьшее расстояние.

Подробный ответ

а) На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция линейна и проходит через точки $$(-3;3)$$ и $$(-1;1)$$. Угловой коэффициент:
$$k=\frac{1-3}{-1-(-3)}=\frac{-2}{2}=-1.$$
Значит, на этом промежутке $$y=-x$$. Проверка: $$f(0)=0$$, поэтому график проходит через точку $$(0;0)$$.
На промежутке $$[0;+\infty)$$ прямая проходит через точки $$(0;0)$$ и $$(1;2)$$, значит
$$k=\frac{2-0}{1-0}=2,$$
то есть $$y=2x$$.
Итак, график состоит из двух лучей: $$y=-x$$ при $$x<0$$ и $$y=2x$$ при $$x\ge 0$$.
б) На $$(-\infty;0]$$ прямая проходит через точки $$(-2;4)$$ и $$(0;2)$$:
$$k=\frac{2-4}{0-(-2)}=-1,$$
значит, $$y=-x+2$$.
На $$(0;+\infty)$$ прямая проходит через точки $$(1;3)$$ и $$(3;5)$$:
$$k=\frac{5-3}{3-1}=1,$$
значит, $$y=x+2$$.
Точка $$(0;2)$$ принадлежит первой части графика, а во второй не входит.
в) На $$(-\infty;1)$$ прямая проходит через точки $$(-2;0)$$ и $$(0;2)$$:
$$k=\frac{2-0}{0-(-2)}=1,$$
значит, $$y=x+2$$.
На $$(1;+\infty)$$ прямая проходит через точки $$(2;0)$$ и $$(3;-1)$$:
$$k=\frac{-1-0}{3-2}=-1,$$
значит, $$y=-x+2$$.
В точке $$x=1$$ обе части не соединяются: слева точка не входит, справа тоже не входит.
г) На $$(-\infty;-1]$$ прямая проходит через точки $$(-4;0)$$ и $$(-1;-3)$$:
$$k=\frac{-3-0}{-1-(-4)}=-1,$$
значит, $$y=-x-4$$.
На $$[2;+\infty)$$ прямая проходит через точки $$(3;1)$$ и $$(4;0)$$:
$$k=\frac{0-1}{4-3}=-1,$$
значит, $$y=-x+4$$.
д) На $$[-5;-1]$$ прямая проходит через точки $$(-3;1)$$ и $$(-2;2)$$:
$$k=\frac{2-1}{-2-(-3)}=1,$$
значит, $$y=x+4$$.
На $$[0;4]$$ прямая проходит через точки $$(1;1)$$ и $$(2;3)$$:
$$k=\frac{3-1}{2-1}=2,$$
значит, $$y=2x-1$$.
е) На $$(-\infty;-1)$$ прямая проходит через точки $$(-5;0)$$ и $$(-3;-4)$$:
$$k=\frac{-4-0}{-3-(-5)}=-2,$$
значит, $$y=-2x-10$$.
На $$(0;3)$$ прямая проходит через точки $$(1;3)$$ и $$(2;0)$$:
$$k=\frac{0-3}{2-1}=-3,$$
значит, $$y=-3x+6$$.

Ответ

а) $$y=-x$$ при $$x<0$$, $$y=2x$$ при $$x\ge 0$$;
б) $$y=-x+2$$ при $$x\le 0$$, $$y=x+2$$ при $$x>0$$;
в) $$y=x+2$$ при $$x<1$$, $$y=-x+2$$ при $$x>1$$;
г) $$y=-x-4$$ при $$x\le -1$$, $$y=-x+4$$ при $$x\ge 2$$;
д) $$y=x+4$$ при $$-5\le x\le -1$$, $$y=2x-1$$ при $$0\le x\le 4$$;
е) $$y=-2x-10$$ при $$x<-1$$, $$y=-3x+6$$ при $$0<x<3$$.

Упростим выражение для последовательности:

$$x_n=\left(n^{-1}-\sqrt{n^{-1}+n^{-2}}\right)^{-1}$$

$$x_n=\left(\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)^{-1} =\left(\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}\right)^{-1} =\left(\frac{1}{n}-\frac{\sqrt{n+1}}{n}\right)^{-1} =\left(\frac{1-\sqrt{n+1}}{n}\right)^{-1} =\frac{n}{1-\sqrt{n+1}}.$$

а)

$$x_3=\frac{3}{1-\sqrt{4}}=\frac{3}{1-2}=-3.$$

б)

$$x_8=\frac{8}{1-\sqrt{9}}=\frac{8}{1-3}=-4.$$

в)

$$x_{15}=\frac{15}{1-\sqrt{16}}=\frac{15}{1-4}=-5.$$

г)

$$\frac{n}{1-\sqrt{n+1}}=-6$$

$$n=6\sqrt{n+1}-6$$

$$6\sqrt{n+1}=n+6$$

$$36(n+1)=(n+6)^2$$

$$36n+36=n^2+12n+36$$