Дополнительная задача 4 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) I=(-бесконечность; 0), J=[0; +бесконечность), f(-1)=1, f(-3)=3, f(0)=0, f(1)=2;
б) I=(-бесконечность; 0], J=(0; +бесконечность), f(-2)=4, f(0)=2, f(1)=3, f(3)=5;
в) I=(-бесконечность; 1), J=(1; +бесконечность), f(-2)=0, f(0)=2, f(2)=0, f(3)=-1;
г) I=(-бесконечность; -1], J=[2; +бесконечность), f(-4)=0, f(-1)=-3, f(3)=1, f(4)=0;
д) I=[-5; -1], J=[0; 4], f(-3)=1, f(-2)=2, f(1)=1, f(2)=3;
е) I=(-бесконечность; -1), J=(0; 3), f(-5)=0, f(-3)=-4, f(1)=3, f(2)=0. Для последовательности x_n=(n^(-1)-v(n^(-1)+n^(-2)))^(-1) найдите:
а) x_3; б) x_8; в) x_15; г) n, если x_n=-6; д) n, если x_n=-9;
е) номер члена последовательности, который удалён от числа —3,5 на наименьшее расстояние.

Подробный ответ

а) На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция линейна и проходит через точки $$(-3;3)$$ и $$(-1;1)$$. Угловой коэффициент:
$$k=\frac{1-3}{-1-(-3)}=\frac{-2}{2}=-1.$$
Значит, на этом промежутке $$y=-x$$. Проверка: $$f(0)=0$$, поэтому график проходит через точку $$ (0;0) $$.
На промежутке $$[0;+\infty)$$ прямая проходит через точки $$ (0;0) $$ и $$ (1;2) $$, значит
$$k=\frac{2-0}{1-0}=2,$$
то есть $$y=2x$$.
Итак, график состоит из двух лучей: $$y=-x$$ при $$x<0$$ и $$y=2x$$ при $$x\ge 0$$.
б) На $$(-\infty;0]$$ прямая проходит через точки $$(-2;4)$$ и $$ (0;2) $$:
$$k=\frac{2-4}{0-(-2)}=-1,$$
значит, $$y=-x+2$$.
На $$(0;+\infty)$$ прямая проходит через точки $$ (1;3) $$ и $$ (3;5) $$:
$$k=\frac{5-3}{3-1}=1,$$
значит, $$y=x+2$$.
Точка $$ (0;2) $$ принадлежит первой части графика, а во второй не входит.
в) На $$(-\infty;1)$$ прямая проходит через точки $$(-2;0)$$ и $$ (0;2) $$:
$$k=\frac{2-0}{0-(-2)}=1,$$
значит, $$y=x+2$$.
На $$(1;+\infty)$$ прямая проходит через точки $$ (2;0) $$ и $$ (3;-1) $$:
$$k=\frac{-1-0}{3-2}=-1,$$
значит, $$y=-x+2$$.
В точке $$x=1$$ обе части не соединяются: слева точка не входит, справа тоже не входит.
г) На $$(-\infty;-1]$$ прямая проходит через точки $$(-4;0)$$ и $$(-1;-3)$$:
$$k=\frac{-3-0}{-1-(-4)}=-1,$$
значит, $$y=-x-4$$.
На $$[2;+\infty)$$ прямая проходит через точки $$ (3;1) $$ и $$ (4;0) $$:
$$k=\frac{0-1}{4-3}=-1,$$
значит, $$y=-x+4$$.
д) На $$[-5;-1]$$ прямая проходит через точки $$(-3;1)$$ и $$(-2;2)$$:
$$k=\frac{2-1}{-2-(-3)}=1,$$
значит, $$y=x+4$$.
На $$[0;4]$$ прямая проходит через точки $$ (1;1) $$ и $$ (2;3) $$:
$$k=\frac{3-1}{2-1}=2,$$
значит, $$y=2x-1$$.
е) На $$(-\infty;-1)$$ прямая проходит через точки $$(-5;0)$$ и $$(-3;-4)$$:
$$k=\frac{-4-0}{-3-(-5)}=-2,$$
значит, $$y=-2x-10$$.
На $$(0;3)$$ прямая проходит через точки $$ (1;3) $$ и $$ (2;0) $$:
$$k=\frac{0-3}{2-1}=-3,$$
значит, $$y=-3x+6$$.

Ответ

а) $$y=-x$$ при $$x<0$$, $$y=2x$$ при $$x\ge 0$$;
б) $$y=-x+2$$ при $$x\le 0$$, $$y=x+2$$ при $$x>0$$;
в) $$y=x+2$$ при $$x<1$$, $$y=-x+2$$ при $$x>1$$;
г) $$y=-x-4$$ при $$x\le -1$$, $$y=-x+4$$ при $$x\ge 2$$;
д) $$y=x+4$$ при $$-5\le x\le -1$$, $$y=2x-1$$ при $$0\le x\le 4$$;
е) $$y=-2x-10$$ при $$x<-1$$, $$y=-3x+6$$ при $$0<x<3$$.

Ход решения

Упростим выражение для последовательности:

$$ x_n=\left(n^{-1}-\sqrt{n^{-1}+n^{-2}}\right)^{-1} $$

$$ x_n=\left(\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)^{-1} =\left(\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}\right)^{-1} =\left(\frac{1}{n}-\frac{\sqrt{n+1}}{n}\right)^{-1} =\left(\frac{1-\sqrt{n+1}}{n}\right)^{-1} =\frac{n}{1-\sqrt{n+1}}. $$

а)

$$ x_3=\frac{3}{1-\sqrt{4}}=\frac{3}{1-2}=-3. $$

б)

$$ x_8=\frac{8}{1-\sqrt{9}}=\frac{8}{1-3}=-4. $$

в)

$$ x_{15}=\frac{15}{1-\sqrt{16}}=\frac{15}{1-4}=-5. $$

г)

$$ \frac{n}{1-\sqrt{n+1}}=-6 $$

$$ n=6\sqrt{n+1}-6 $$

$$ 6\sqrt{n+1}=n+6 $$

$$ 36(n+1)=(n+6)^2 $$

$$ 36n+36=n^2+12n+36 $$