Упр.39.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) Вероятность появления ровно 3 «решек» при 13 бросаниях монеты.
б) Вероятность появления ровно 13 «орлов» при 13 бросаниях монеты.
в) Вероятность того, что четверть из 8 опрошенных выберет из дней недели воскресенье.
г) Вероятность того, что половина из 18 опрошенных выберет из дней недели или среду, или субботу.
д) Вероятность того, что в 25 бросаниях кубика ровно 17 раз выпадет шестёрка.
е) Вероятность того, что ровно 15 из 25 учеников из цифр 0, 1, 2, …, 9 выберут цифру 5. Рассмотрим случайную величину Т — «сумма очков, которые могут выпасть при двух бросаниях кубика». Найдите:
а) наименьшее значение;
б) наибольшее значение;
в) множество всех значений;
г) число э. с., для которых определена эта с. в.;
д) число э. с., для которых T принимает наибольшее значение;
е) число э. с., для которых Т принимает наименьшее значение.
Используем формулу Бернулли:
$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$
где $$n$$ — число испытаний, $$k$$ — число появлений нужного события, $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$.
а) Ровно 3 решки при 13 бросаниях монеты:
$$n=13,\quad k=3,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12,$$
$$P_{13}(3)=C_{13}^3\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^{10}=C_{13}^3\left(\frac12\right)^{13}.$$
б) Ровно 13 орлов при 13 бросаниях монеты:
$$n=13,\quad k=13,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12,$$
$$P_{13}(13)=C_{13}^{13}\left(\frac12\right)^{13}\left(\frac12\right)^0=C_{13}^{13}\left(\frac12\right)^{13}.$$
в) Четверть из 8 опрошенных выберет воскресенье:
Четверть от 8 — это 2, значит $$n=8,\ k=2.$$
Вероятность выбрать воскресенье: $$p=\frac17,\quad q=\frac67.$$
$$P_8(2)=C_8^2\left(\frac17\right)^2\left(\frac67\right)^6.$$
г) Половина из 18 опрошенных выберет среду или субботу:
Половина от 18 — это 9, значит $$n=18,\ k=9.$$
Вероятность выбрать среду или субботу: $$p=\frac27,\quad q=\frac57.$$
$$P_{18}(9)=C_{18}^9\left(\frac27\right)^9\left(\frac57\right)^9.$$
д) В 25 бросаниях кубика ровно 17 раз выпадет шестёрка:
$$n=25,\quad k=17,\quad p=\frac16,\quad q=\frac56,$$
$$P_{25}(17)=C_{25}^{17}\left(\frac16\right)^{17}\left(\frac56\right)^8.$$
е) Ровно 15 из 25 учеников выберут цифру 5:
$$n=25,\quad k=15,\quad p=\frac1{10},\quad q=\frac9{10},$$
$$P_{25}(15)=C_{25}^{15}\left(\frac1{10}\right)^{15}\left(\frac9{10}\right)^{10}.$$
Рассмотрим случайную величину $$T$$ — сумму очков при двух бросаниях кубика.
а) Наименьшее значение:
$$T_{\min}=1+1=2.$$
б) Наибольшее значение:
$$T_{\max}=6+6=12.$$
в) Множество всех значений:
$$T\in\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.$$
г) Число элементарных событий, для которых определена эта случайная величина:
$$6\cdot 6=36.$$
д) Число элементарных событий, для которых $$T$$ принимает наибольшее значение:
Только одно событие: $$\{(6,6)\}$$, значит их число равно $$1$$.
е) Число элементарных событий, для которых $$T$$ принимает наименьшее значение:
Только одно событие: $$\{(1,1)\}$$, значит их число равно $$1$$.
Ответ
а) $$P_{13}(3)=C_{13}^3\left(\frac12\right)^{13}$$;
б) $$P_{13}(13)=C_{13}^{13}\left(\frac12\right)^{13}$$;
в) $$P_8(2)=C_8^2\left(\frac17\right)^2\left(\frac67\right)^6$$;
г) $$P_{18}(9)=C_{18}^9\left(\frac27\right)^9\left(\frac57\right)^9$$;
д) $$P_{25}(17)=C_{25}^{17}\left(\frac16\right)^{17}\left(\frac56\right)^8$$;
е) $$P_{25}(15)=C_{25}^{15}\left(\frac1{10}\right)^{15}\left(\frac9{10}\right)^{10}$$;
$$T_{\min}=2,\ T_{\max}=12,\ T\in\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\},\ 36,\ 1,\ 1.$$
