Упр.39.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Разность второго и третьего членов бесконечной геометрической прогрессии $$(b_n)$$ равна 54, а их сумма 108. Найдите сумму этой прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию:

$$\begin{cases} b_2-b_3=54,\\ b_2+b_3=108. \end{cases}$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$\begin{cases} b_1q-b_1q^2=54,\\ b_1q+b_1q^2=108. \end{cases}$$

Вынесем общий множитель:

$$\begin{cases} b_1q(1-q)=54,\\ b_1q(1+q)=108. \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{1+q}{1-q}=\frac{108}{54}=2.$$

Тогда

$$1+q=2-2q,$$

$$3q=1,\quad q=\frac13.$$

Найдём $$b_1$$ из первого уравнения:

$$b_1\cdot \frac13\left(1-\frac13\right)=54,$$

$$b_1\cdot \frac13\cdot \frac23=54,$$

$$b_1\cdot \frac{2}{9}=54,$$

$$b_1=243.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{243}{1-\frac13}=\frac{243}{\frac23}=364{,}5.$$

Ответ

$$364{,}5$$