Упр.39.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) Построите график функции y=f(x).
б) Прочитайте график функции y=f(x).
в) Для каждого значения параметра р определите количество решений уравнения f(x)=p.
Рассмотрим функцию
$$ f(x)= \begin{cases} -(x+3)^3-1, & -5\le x<-2,\\ \sqrt[3]{x+1}-1, & -2\le x<7,\\ -x+8, & x\ge 7. \end{cases} $$
а) Построение графика.
График состоит из трёх частей:
- на отрезке $$[-5;-2)$$ — график функции $$y=-(x+3)^3-1$$;
- на отрезке $$[-2;7)$$ — график функции $$y=\sqrt[3]{x+1}-1$$;
- при $$x\ge 7$$ — луч прямой $$y=-x+8$$.
Ключевые точки для построения:
$$ f(-5)=7,\quad f(-3)=-1,\quad f(-2)=-1,\quad f(0)=0,\quad f(7)=1. $$
Соединяя эти части в соответствии с заданными промежутками, получаем график функции.
б) Свойства функции.
Область определения:
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений:
$$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Убывает на промежутках
$$[-5;-2]\cup[7;+\infty),$$
возрастает на промежутке
$$[-2;7].$$
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
Выпукла вверх на промежутках
$$(-3;-2)\cup(-1;7),$$
выпукла вниз на промежутках
$$(-5;-3)\cup(-2;-1).$$
в) Количество решений уравнения $$f(x)=p$$.
Число решений зависит от положения прямой $$y=p$$ относительно графика функции:
- $$1$$ решение, если $$p<-2$$ или $$1<p\le 7$$;
- $$2$$ решения, если $$p=-2$$ или $$p=1$$;
- $$3$$ решения, если $$-2<p<1$$;
- $$0$$ решений, если $$p>7$$.
Ответ
а) График функции состоит из трёх указанных частей.
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;+\infty)$$; функция не чётная и не нечётная; убывает на $$[-5;-2]\cup[7;+\infty)$$, возрастает на $$[-2;7]$$; не ограничена сверху и снизу.
в) $$1$$ решение при $$p<-2$$ или $$1<p\le 7$$; $$2$$ решения при $$p=-2$$ или $$p=1$$; $$3$$ решения при $$-2<p<1$$; $$0$$ решений при $$p>7$$.
