Упр.38.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: Постройте график функции y=|2x^2-4x-1|. При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком данной функции две общие точки?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=\left|2x^2-4x-1\right|.$$

Найдём вершину параболы $$y=2x^2-4x-1$$:

$$x_0=\frac{-(-4)}{2\cdot 2}=1,$$
$$y_0=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Значит, график функции $$y=\left|2x^2-4x-1\right|$$ получается из графика параболы $$y=2x^2-4x-1$$ отражением части, лежащей ниже оси $$Ox$$, вверх.

Нули подмодульного выражения найдём из уравнения:

$$2x^2-4x-1=0,$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt6}{2}.$$

Следовательно, график функции проходит через точки $$\left(1-\frac{\sqrt6}{2},0\right)$$ и $$\left(1+\frac{\sqrt6}{2},0\right)$$, а на отрезке между ними имеет вид перевёрнутой дуги с вершиной в точке $$\left(1,3\right)$$.

Прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки в двух случаях:

если $$m=0$$, тогда пересечение происходит в двух точках, где график касается оси $$Ox$$;
если $$m>3$$, тогда горизонтальная прямая пересекает обе ветви графика по одному разу.

При $$0<m<3$$ прямая пересекает график в четырёх точках, а при $$m=3$$ — в трёх.