Упр.38.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) (15-4n)/n является целым числом;
б) (12-5n)/n является натуральным числом. При каких значениях переменной не имеет смысла выражение:
а) v((4x-5)/(2x^2-7x-22)); в) v((10-13x-3x^2)/(5x+19));
б) ((x^2-8x+7)/(5x^2-x+1))^(1/3); г) ((x^2-6x+4)/(17+13x-4x^2))^(1/3)?
а) $$\frac{15-4n}{n}=\frac{15}{n}-4.$$
Чтобы дробь была целым числом, число $$n$$ должно делить $$15$$. Натуральные делители числа $$15$$:
$$n=1,\,3,\,5,\,15.$$
б) $$\frac{12-5n}{n}=\frac{12}{n}-5.$$
Чтобы выражение было натуральным числом, значение $$\frac{12}{n}$$ должно быть натуральным. Значит, $$n$$ — натуральный делитель числа $$12$$, и при этом результат должен быть натуральным:
$$\frac{12}{n}-5 \in \mathbb{N}.$$
Проверяем делители $$12$$: $$1,2,3,4,6,12$$.
Подходят только:
$$n=1 \Rightarrow \frac{12-5}{1}=7,$$
$$n=2 \Rightarrow \frac{12-10}{2}=1.$$
Значит, $$n=1,\,2.$$
а) $$\sqrt{\frac{4x-5}{2x^2-7x-22}}$$
Выражение не имеет смысла, когда подкоренное выражение отрицательно:
$$\frac{4x-5}{2x^2-7x-22}<0.$$
Разложим знаменатель на множители:
$$2x^2-7x-22=(2x+4)(x-5.5)=2(x+2)(x-5.5).$$
Критические точки: $$x=-2,\; x=\frac54,\; x=\frac{11}{2}.$$
Знак дроби отрицателен на промежутках:
$$(-\infty,-2]\cup\left(\frac54,\frac{11}{2}\right].$$
б) $$\sqrt[3]{\frac{x^2-8x+7}{5x^2-x+1}}$$
Кубический корень определён при любых значениях подкоренного выражения, но дробь должна иметь смысл, то есть знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$5x^2-x+1\ne 0.$$
Дискриминант:
$$D=(-1)^2-4\cdot 5\cdot 1=1-20=-19<0.$$
Значит, квадратный трёхчлен не обращается в нуль ни при каком $$x$$, поэтому выражение имеет смысл при всех $$x\in\mathbb{R}$$.
Следовательно, выражение не имеет смысла ни при каких значениях $$x$$.
в) $$\sqrt{\frac{10-13x-3x^2}{5x+19}}$$
Требуется:
$$\frac{10-13x-3x^2}{5x+19}\ge 0,\qquad 5x+19\ne 0.$$
Преобразуем числитель:
$$10-13x-3x^2=-(3x^2+13x-10)=-(3x-2)(x+5).$$
Тогда
$$-\frac{(3x-2)(x+5)}{5x+19}\ge 0,$$
или
$$\frac{(3x-2)(x+5)}{5x+19}\le 0.$$
Критические точки: $$x=-5,\; x=-\frac{19}{5},\; x=\frac23.$$
Получаем:
$$(-5;-\frac{19}{5})\cup\left[\frac23;+\infty\right).$$
г) $$\sqrt[3]{\frac{x^2-6x+4}{17+13x-4x^2}}$$
Нужно, чтобы знаменатель не был равен нулю:
$$17+13x-4x^2\ne 0.$$
Решим уравнение:
$$4x^2-13x-17=0.$$
$$D=(-13)^2-4\cdot 4\cdot(-17)=169+272=441,$$
$$x=\frac{13\pm 21}{8}.$$
Отсюда
$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac{17}{4}.$$
Значит, выражение не имеет смысла при
$$x=-1 \text{ или } x=\frac{17}{4}.$$
Ответ
а) $$n=1,\,3,\,5,\,15$$; б) $$n=1,\,2$$; а) $$(-\infty,-2]\cup\left(\frac54,\frac{11}{2}\right]$$; б) $$\varnothing$$; в) $$(-5;-\frac{19}{5})\cup\left[\frac23;+\infty\right)$$; г) $$x=-1,\ \frac{17}{4}$$.
