Упр.38.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- В июле клиент взял в банке кредит на сумму $$100\,000\ \text{р.}$$ под $$x\%$$ годовых. Условия погашения кредита таковы, что через год после выдачи кредита начисляются проценты по кредиту, после этого выплачивается часть долга. Под какой процент был взят кредит, если он был полностью погашен за 2 года, причём в первый год было выплачено $$65\,000\ \text{р.}$$, а во второй $$57\,500\ \text{р.}$$?
- Найдите вероятность наступления ровно 3 «успехов» в 4 повторениях испытания, если это испытание описано в задании:
а) 38.1 «а»; в) 38.1 «в»; д) 38.5 «б»; б) 38.1 «б»; г) 38.5 «а»; е) 38.5 «в».
Пусть $$x$$ — годовая процентная ставка.
После первого года долг увеличится на проценты и составит $$100000\left(1+\frac{x}{100}\right)$$. Затем клиент выплатил $$65000$$ р., значит, к началу второго года осталось:
$$100000\left(1+\frac{x}{100}\right)-65000.$$
После начисления процентов во втором году получаем сумму долга:
$$\left(100000\left(1+\frac{x}{100}\right)-65000\right)\left(1+\frac{x}{100}\right)=57500.$$
Раскроем скобки:
$$100000\left(1+\frac{x}{100}\right)^2-65000\left(1+\frac{x}{100}\right)=57500.$$
Разделим уравнение на $$2500$$:
$$40\left(1+\frac{x}{100}\right)^2-26\left(1+\frac{x}{100}\right)-23=0.$$
Обозначим $$t=1+\frac{x}{100}$$. Тогда:
$$40t^2-26t-23=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-26)^2-4\cdot 40\cdot(-23)=676+3680=4356,$$
$$\sqrt{D}=66.$$
Тогда
$$t=\frac{26\pm 66}{80}.$$
Получаем:
$$t_1=\frac{92}{80}=1{,}15,\qquad t_2=\frac{-40}{80}=-0{,}5.$$
Так как $$t=1+\frac{x}{100}>0$$, подходит только $$t=1{,}15$$. Значит,
$$1+\frac{x}{100}=1{,}15,$$
$$\frac{x}{100}=0{,}15,$$
$$x=15.$$
Ответ
$$15\%$$
Вероятность ровно $$3$$ успехов в $$4$$ повторениях испытания находим по формуле Бернулли:
$$P_4(3)=C_4^3p^3q,$$
где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$.
а) $$p=\frac12,\ q=\frac12.$$ Тогда
$$P_4(3)=C_4^3\left(\frac12\right)^3\cdot\frac12=4\cdot\frac{1}{16}=\frac14.$$
б) $$p=\frac12,\ q=\frac12.$$ Тогда
$$P_4(3)=C_4^3\left(\frac12\right)^3\cdot\frac12=\frac14.$$
в) $$p=\frac14,\ q=\frac34.$$ Тогда
$$P_4(3)=C_4^3\left(\frac14\right)^3\cdot\frac34=4\cdot\frac{3}{256}=\frac{3}{64}.$$
г) $$p=\frac15,\ q=\frac45.$$ Тогда
$$P_4(3)=C_4^3\left(\frac15\right)^3\cdot\frac45=4\cdot\frac{4}{625}=\frac{16}{625}.$$
д) $$p=\frac45,\ q=\frac15.$$ Тогда
$$P_4(3)=C_4^3\left(\frac45\right)^3\cdot\frac15=4\cdot\frac{64}{625}=\frac{256}{625}.$$
е) $$p=\frac45,\ q=\frac15.$$ Тогда
$$P_4(3)=C_4^3\left(\frac45\right)^3\cdot\frac15=\frac{256}{625}.$$
Ответ
а) $$\frac14$$; б) $$\frac14$$; в) $$\frac{3}{64}$$; г) $$\frac{16}{625}$$; д) $$\frac{256}{625}$$; е) $$\frac{256}{625}$$.
