Упр.37.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) 2+1+1/2+1/4+…; в) 3/2-1+2/3-4/9+…;
б) 49+7+1+1/7+1/7^2+…; г) 125+5+1+1/5+… . В лотерейном барабане 2 выигрышных шара и 8 проигрышных. Найдите вероятность того, что из двух выпавших шаров:
а) все шары будут проигрышные;
б) все шары выигрышные;
в) будет хотя бы один выигрышный шар;
г) хотя бы один проигрышный шар;
д) ровно один проигрышный шар;
е) ровно один выигрышный шар.

Рассмотрим каждый пункт.

1. а) $$2+1+\frac12+\frac14+\dots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия, где $$b_1=2$$, $$q=\frac12$$.

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac12}=\frac{2}{\frac12}=4.$$

2. б) $$49+7+1+\frac17+\frac1{7^2}+\dots$$

   Здесь $$b_1=49$$, $$q=\frac17$$.

   Тогда

   $$S=\frac{49}{1-\frac17}=\frac{49}{\frac67}=\frac{49\cdot 7}{6}=\frac{343}{6}=57\frac16.$$

3. в) $$\frac32-1+\frac23-\frac49+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия: $$b_1=\frac32$$, $$q=-\frac23$$.

   Тогда

   $$S=\frac{\frac32}{1-(-\frac23)}=\frac{\frac32}{1+\frac23}=\frac{\frac32}{\frac53}=\frac32\cdot\frac35=\frac9{10}=0{,}9.$$

4. г) $$125+5+1+\frac15+\dots$$

   Здесь $$b_1=125$$, $$q=\frac15$$.

   Тогда

   $$S=\frac{125}{1-\frac15}=\frac{125}{\frac45}=\frac{125\cdot 5}{4}=\frac{625}{4}=156\frac14.$$

Теперь найдём вероятности. Всего шаров $$10$$, из них $$2$$ выигрышных и $$8$$ проигрышных. Выбирают два шара без возвращения.

2. а) Оба шара проигрышные:

   $$P=\frac{8}{10}\cdot\frac{7}{9}=\frac{56}{90}=\frac{28}{45}.$$

3. б) Оба шара выигрышные:

   $$P=\frac{2}{10}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}.$$

4. в) Хотя бы один выигрышный шар:

   $$P=1-\frac{28}{45}=\frac{17}{45}.$$

5. г) Хотя бы один проигрышный шар:

   $$P=1-\frac{1}{45}=\frac{44}{45}.$$

6. д) Ровно один проигрышный шар:

   $$P=\frac{2}{10}\cdot\frac{8}{9}+\frac{8}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{16}{90}+\frac{16}{90}=\frac{32}{90}=\frac{16}{45}.$$

7. е) Ровно один выигрышный шар:

   $$P=\frac{2}{10}\cdot\frac{8}{9}+\frac{8}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{16}{45}.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$57\frac16$$; в) $$0{,}9$$; г) $$156\frac14$$; а) $$\frac{28}{45}$$; б) $$\frac{1}{45}$$; в) $$\frac{17}{45}$$; г) $$\frac{44}{45}$$; д) $$\frac{16}{45}$$; е) $$\frac{16}{45}$$.