Упр.37.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) {a^2+b^2=29, a^2-2b^2=17};
б) {3a^2+2b^2=45,5, 5a^2-4b^2=8};
в) {2a^2+b^2=43, a^2-b^2=-16};
г) {2a^2+5b^2=223, 5a^2-3b^2=170}.

Подробный ответ

а)
$$\begin{cases} a^2+b^2=29,\\ a^2-2b^2=17. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$a^2=29-b^2.$$
Подставим во второе:
$$ 29-b^2-2b^2=17 $$
$$ 3b^2=12 $$
$$ b^2=4. $$
Тогда
$$a^2=29-4=25.$$
Следовательно,
$$a=\pm 5,\quad b=\pm 2.$$
Получаем четыре пары решений:
$$(-5;-2),\;(-5;2),\;(5;-2),\;(5;2).$$
б)
$$\begin{cases} 3a^2+2b^2=45{,}5,\\ 5a^2-4b^2=8. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$ 2b^2=45{,}5-3a^2, \qquad b^2=22{,}75-1{,}5a^2. $$
Подставим во второе:
$$ 5a^2-4(22{,}75-1{,}5a^2)=8 $$
$$ 5a^2-91+6a^2=8 $$
$$ 11a^2=99 $$
$$ a^2=9. $$
Тогда
$$ b^2=22{,}75-1{,}5\cdot 9=22{,}75-13{,}5=\frac{37}{4}. $$
Следовательно,
$$a=\pm 3,\quad b=\pm \frac{\sqrt{37}}{2}.$$
Получаем четыре пары решений:
$$(-3;-\frac{\sqrt{37}}{2}),\;(-3;\frac{\sqrt{37}}{2}),\;(3;-\frac{\sqrt{37}}{2}),\;(3;\frac{\sqrt{37}}{2}).$$
в)
$$\begin{cases} 2a^2+b^2=43,\\ a^2-b^2=-16. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$b^2=43-2a^2.$$
Подставим во второе:
$$ a^2-(43-2a^2)=-16 $$
$$ 3a^2=27 $$
$$ a^2=9. $$
Тогда
$$b^2=43-2\cdot 9=25.$$
Следовательно,
$$a=\pm 3,\quad b=\pm 5.$$
Получаем четыре пары решений:
$$(-3;-5),\;(-3;5),\;(3;-5),\;(3;5).$$
г)
$$\begin{cases} 2a^2+5b^2=223,\\ 5a^2-3b^2=170. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$ 2a^2=223-5b^2, \qquad a^2=111{,}5-2{,}5b^2. $$
Подставим во второе:
$$ 5(111{,}5-2{,}5b^2)-3b^2=170 $$
$$ 557{,}5-12{,}5b^2-3b^2=170 $$
$$ 15{,}5b^2=387{,}5 $$
$$ b^2=25. $$
Тогда
$$a^2=111{,}5-2{,}5\cdot 25=49.$$
Следовательно,
$$a=\pm 7,\quad b=\pm 5.$$
Получаем четыре пары решений:
$$(-7;-5),\;(-7;5),\;(7;-5),\;(7;5).$$