Упр.37.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений: а) $$\begin{cases}a^2+b^2=29,\\a^2-2b^2=17;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}3a^2+2b^2=45{,}5,\\5a^2-4b^2=8;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}2a^2+b^2=43,\\a^2-b^2=-16;\end{cases}$$ г) $$\begin{cases}2a^2+5b^2=223,\\5a^2-3b^2=170.\end{cases}$$

Подробный ответ

а)
$$\begin{cases} a^2+b^2=29,\\ a^2-2b^2=17. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$a^2=29-b^2.$$
Подставим во второе:
$$29-b^2-2b^2=17$$
$$3b^2=12$$
$$b^2=4.$$
Тогда
$$a^2=29-4=25.$$
Следовательно,
$$a=\pm 5,\quad b=\pm 2.$$
Получаем четыре пары решений:
$$(-5;-2),\;(-5;2),\;(5;-2),\;(5;2).$$
б)
$$\begin{cases} 3a^2+2b^2=45{,}5,\\ 5a^2-4b^2=8. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$2b^2=45{,}5-3a^2, \qquad b^2=22{,}75-1{,}5a^2.$$
Подставим во второе:
$$5a^2-4(22{,}75-1{,}5a^2)=8$$
$$5a^2-91+6a^2=8$$
$$11a^2=99$$
$$a^2=9.$$
Тогда
$$b^2=22{,}75-1{,}5\cdot 9=22{,}75-13{,}5=\frac{37}{4}.$$
Следовательно,
$$a=\pm 3,\quad b=\pm \frac{\sqrt{37}}{2}.$$
Получаем четыре пары решений:
$$(-3;-\frac{\sqrt{37}}{2}),\;(-3;\frac{\sqrt{37}}{2}),\;(3;-\frac{\sqrt{37}}{2}),\;(3;\frac{\sqrt{37}}{2}).$$
в)
$$\begin{cases} 2a^2+b^2=43,\\ a^2-b^2=-16. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$b^2=43-2a^2.$$
Подставим во второе:
$$a^2-(43-2a^2)=-16$$
$$3a^2=27$$
$$a^2=9.$$
Тогда
$$b^2=43-2\cdot 9=25.$$
Следовательно,
$$a=\pm 3,\quad b=\pm 5.$$
Получаем четыре пары решений:
$$(-3;-5),\;(-3;5),\;(3;-5),\;(3;5).$$
г)
$$\begin{cases} 2a^2+5b^2=223,\\ 5a^2-3b^2=170. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$2a^2=223-5b^2, \qquad a^2=111{,}5-2{,}5b^2.$$
Подставим во второе:
$$5(111{,}5-2{,}5b^2)-3b^2=170$$
$$557{,}5-12{,}5b^2-3b^2=170$$
$$15{,}5b^2=387{,}5$$
$$b^2=25.$$
Тогда
$$a^2=111{,}5-2{,}5\cdot 25=49.$$
Следовательно,
$$a=\pm 7,\quad b=\pm 5.$$
Получаем четыре пары решений:
$$(-7;-5),\;(-7;5),\;(7;-5),\;(7;5).$$