Упр.37.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Найдите значение выражения $$\left(2-\frac{2vx}{vx-2}\right):\frac{8}{x-4}$$ при $$x=2{,}56$$.
- Решите неравенство:
а) $$3x^2-20x-63?0$$;
в) $$\frac{5x^2-46x+77}{ }?0$$;
б) $$\frac{7}{4+3x^2-x^4}?0$$;
г) $$\frac{11}{36+5x^2-x^4}?0$$.
Найдём значение выражения:
$$\left(2-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{8}{x-4}$$
Преобразуем:
$$2-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} =\frac{2(\sqrt{x}-2)-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} =\frac{-4}{\sqrt{x}-2}$$
$$\left(2-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{8}{x-4} =\frac{-4}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{x-4}{8}$$
Так как $$x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2),$$ получаем:
$$\frac{-4}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{8} =-\frac{\sqrt{x}+2}{2}$$
При $$x=2{,}56$$ имеем $$\sqrt{x}=1{,}6,$$ значит:
$$N=-\frac{1{,}6+2}{2}=-1{,}8$$
Решим неравенства.
а)
$$3x^2-20x-63\ge 0$$
$$D=(-20)^2-4\cdot 3\cdot(-63)=400+756=1156$$
$$x_{1,2}=\frac{20\pm 34}{6}$$
$$x_1=-\frac{7}{3},\qquad x_2=9$$
$$3x^2-20x-63=3\left(x+\frac{7}{3}\right)(x-9)$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$x\le -\frac{7}{3}\quad \text{или}\quad x\ge 9$$
б)
$$\frac{7}{4+3x^2-x^4}\ge 0$$
Числитель положителен, значит нужно, чтобы знаменатель был положительным:
$$4+3x^2-x^4>0$$
$$x^4-3x^2-4<0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-3t-4<0$$
$$(t-4)(t+1)<0$$
$$-1<t<4$$
Так как $$t=x^2\ge 0,$$ получаем:
$$0\le x^2<4$$
$$-2<x<2$$
в)
$$5x^2-46x+77\le 0$$
$$D=(-46)^2-4\cdot 5\cdot 77=2116-1540=576$$
$$x_{1,2}=\frac{46\pm 24}{10}$$
$$x_1=\frac{11}{5}=2{,}2,\qquad x_2=7$$
$$5x^2-46x+77=5(x-2{,}2)(x-7)$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$2{,}2\le x\le 7$$
г)
$$\frac{11}{36+5x^2-x^4}\le 0$$
Числитель положителен, значит нужно, чтобы знаменатель был отрицателен:
$$36+5x^2-x^4<0$$
$$x^4-5x^2-36>0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-5t-36>0$$
$$(t-9)(t+4)>0$$
$$t>9$$
Следовательно,
$$x^2>9$$
$$x<-3\quad \text{или}\quad x>3$$
Ответ
$$-1{,}8;\quad \text{а) }(-\infty;-\frac{7}{3}]\cup[9;+\infty);\quad \text{б) }(-2;2);\quad \text{в) }[2{,}2;7];\quad \text{г) }(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$
