Упр.37.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите геометрическую прогрессию, если её сумма равна 24, а сумма первых трёх членов равна 21.
2. У испытания 7 элементарных событий (исходов испытания): $$a, b, c, d, x, y, z$$. Рассматривают 3 случайных события при проведении этого испытания: $$A=\{a,c\}$$, $$B=\{b,c,x,z\}$$, $$C=\{a,d,x,y\}$$. Составьте случайное событие: а) $$A(B+C)$$; в) $$A(!B+C)$$; д) $$AB+BC$$; б) $$!A(B+C)$$; г) $$!B(A+!C)$$; е) $$!AB+!BC$$.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1,$$ а знаменатель — $$q.$$ Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=24$$
откуда
$$b_1=24(1-q).$$

Сумма первых трёх членов:

$$b_1+b_1q+b_1q^2=21,$$
то есть
$$b_1(1+q+q^2)=21.$$
Подставим $$b_1=24(1-q):$$
$$24(1-q)(1+q+q^2)=21.$$
Так как
$$(1-q)(1+q+q^2)=1-q^3,$$
получаем
$$24(1-q^3)=21,$$
$$1-q^3=\frac{7}{8},$$
$$q^3=\frac{1}{8},$$
$$q=\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$b_1=24\left(1-\frac{1}{2}\right)=12.$$

Ответ: $$b_1=12,\ q=\frac{1}{2}.$$

Элементарные исходы: $$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y,\ z.$$

$$A=\{a,c\},\quad B=\{b,c,x,z\},\quad C=\{a,d,x,y\}.$$

1. $$B+C=\{a,b,c,d,x,y,z\},$$
   поэтому
   $$A(B+C)=\{a,c\}.$$

2. $$\overline{A}=\{b,d,x,y,z\},\quad B+C=\{a,b,c,d,x,y,z\},$$
   значит
   $$\overline{A}(B+C)=\{b,d,x,y,z\}.$$

3. $$\overline{B}=\{a,d,y\},\quad \overline{B}+C=\{a,d,x,y\},$$
   поэтому
   $$A(\overline{B}+C)=\{a\}.$$

4. $$\overline{C}=\{b,c,z\},\quad A+\overline{C}=\{a,b,c,z\},$$
   значит
   $$\overline{B}(A+\overline{C})=\{a\}.$$

5. $$AB=\{c\},\quad BC=\{x\},$$
   следовательно
   $$AB+BC=\{c,x\}.$$

6. $$\overline{A}=\{b,d,x,y,z\},\quad \overline{B}=\{a,d,y\},$$
   тогда
   $$\overline{AB}=\{b,d,x,y,z\},\quad \overline{BC}=\{a,b,c,d,y,z\},$$
   и
   $$\overline{AB}+\overline{BC}=\{a,b,c,d,x,y,z\}.$$

Ответ: а) $$\{a,c\}$$; б) $$\{b,d,x,y,z\}$$; в) $$\{a\}$$; г) $$\{a\}$$; д) $$\{c,x\}$$; е) $$\{a,b,c,d,x,y,z\}$$.