Упр.36.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Выведите формулу суммы квадратов первых $$n$$ членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$.
Решите уравнение:
а) $$(n+1)!=3n!$$;
б) $$(k-1)!=4(k-2)!$$;
в) $$(m-5)!=7(m-6)!$$;
г) $$x!+7(x-1)!=66$$;
д) $$(y-2)!=90(y-4)!$$;
е) $$(z+3)!=210z!$$.

Подробный ответ

Обозначим члены геометрической прогрессии через $$b_1, b_2, \dots, b_n$$, а её знаменатель — через $$q$$.

Тогда квадраты её членов тоже образуют геометрическую прогрессию:

$$c_1=b_1^2,\quad c_2=b_2^2,\quad \dots,\quad c_n=b_n^2.$$

Её знаменатель равен

$$q_c=\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{b_{n+1}^2}{b_n^2}=q^2.$$

Сумма квадратов первых $$n$$ членов исходной прогрессии равна сумме первых $$n$$ членов новой геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{c_1(q_c^n-1)}{q_c-1}=\frac{b_1^2(q^{2n}-1)}{q^2-1}.$$

Следовательно,

$$S_n=\frac{b_1^2(q^{2n}-1)}{q^2-1}.$$

Решим уравнения.

$$(n+1)! = 3n!$$
$$(n+1)n! = 3n!$$
$$n+1=3,\quad n=2.$$
$$(k-1)! = 4(k-2)!$$
$$(k-1)(k-2)! = 4(k-2)!$$
$$k-1=4,\quad k=5.$$
$$(m-5)! = 7(m-6)!$$
$$(m-5)(m-6)! = 7(m-6)!$$
$$m-5=7,\quad m=12.$$
$$x!+7(x-1)! = 66$$
$$x(x-1)!+7(x-1)! = 66$$
$$(x+7)(x-1)! = 66.$$
Проверим натуральные значения. При $$x=4$$:
$$4!+7\cdot 3! = 24+42=66.$$
Значит, $$x=4$$.
$$(y-2)! = 90(y-4)!$$
$$(y-2)(y-3)(y-4)! = 90(y-4)!$$
$$(y-2)(y-3)=90.$$
$$y^2-5y+6=90$$
$$y^2-5y-84=0.$$
$$D=25+336=361, \quad \sqrt{D}=19.$$
$$y=\frac{5\pm 19}{2}.$$
$$y_1=-7,\quad y_2=12.$$
С учётом области определения подходит только $$y=12$$.
$$(z+3)! = 210z!$$
$$(z+3)(z+2)(z+1)z! = 210z!$$
$$(z+3)(z+2)(z+1)=210.$$
Проверим натуральное значение $$z=4$$:
$$7\cdot 6\cdot 5=210.$$
Значит, $$z=4$$.