Упр.36.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) b_1=3, q=2, S_n=189; в) b_1=1/5, q=2, S_n=51;
б) b_1=-1, q=1/2, S_n=-2 1/16; г) b_1=6, q=3, S_n=480. Решать 5 задач на контрольной работе можно в разном порядке. Найдите число:
а) всех порядков решения задач;
б) всех порядков решения задач, при которых задачу № 1 решают первой;
в) всех порядков решения задач, при которых задачу № 5 решают последней;
г) всех порядков решения задач, при которых задачу № 1 решают первой или второй;
д) всех порядков решения задач, при которых задачу № 1 решают не первой;
е) всех порядков решения задач, при которых задачу № 1 решают не первой, а задачу № 5 — не последней.

1. а) Для суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии при $$q \ne 1$$ используем формулу

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

   Подставим данные:

   $$189=\frac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1).$$

   $$2^n-1=63,$$

   $$2^n=64,$$

   $$n=6.$$

2. б)

   $$-2\frac{1}{16}=-\frac{33}{16}.$$

   Тогда

   $$-\frac{\left(\frac12\right)^n-1}{\frac12-1}=-\frac{33}{16}.$$

   Так как $$\frac12-1=-\frac12,$$ получаем

   $$2\left(\left(\frac12\right)^n-1\right)=-\frac{33}{16}.$$

   Отсюда

   $$\left(\frac12\right)^n-1=-\frac{33}{32},$$

   $$\left(\frac12\right)^n=-\frac{1}{32}.$$

   Это невозможно, так как $$\left(\frac12\right)^n>0$$ при любом $$n$$. Значит, такого числа членов нет.

3. в)

   $$51=\frac{\frac15(2^n-1)}{2-1}=\frac15(2^n-1).$$

   $$2^n-1=255,$$

   $$2^n=256,$$

   $$n=8.$$

4. г)

   $$480=\frac{6(3^n-1)}{3-1}=3(3^n-1).$$

   $$3^n-1=160,$$

   $$3^n=161.$$

   Число $$161$$ не является степенью числа $$3$$, значит, такого числа членов нет.

Ответ

а) $$6$$; б) нет; в) $$8$$; г) нет.

Ход решения

1. а) Всего способов упорядочить 5 задач:

   $$P_5=5!=120.$$

2. б) Если задачу № 1 решают первой, то остальные 4 задачи можно расположить произвольно:

   $$4!=24.$$

3. в) Если задачу № 5 решают последней, то первые 4 задачи можно расположить произвольно:

   $$4!=24.$$

4. г) Если задачу № 1 решают первой или второй, то есть 2 варианта её места, а остальные 4 задачи можно переставить $$4!$$ способами:

   $$2\cdot 4!=48.$$

5. д) Если задачу № 1 решают не первой, то она может стоять на 2-м, 3-м, 4-м или 5-м месте — всего 4 варианта. Остальные задачи переставляются $$4!$$ способами:

   $$4\cdot 4!=96.$$

6. е) Если задачу № 1 решают не первой, а задачу № 5 — не последней, то для задачи № 1 есть 3 возможных места, для задачи № 5 — 3 возможных места, а оставшиеся 3 задачи можно переставить $$3!$$ способами:

   $$3\cdot 3\cdot 3!=54.$$

Ответ

а) $$120$$; б) $$24$$; в) $$24$$; г) $$48$$; д) $$96$$; е) $$54$$.