Упр.36.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) b_1=6, b_3=54, n=5; б) b_1=5/12, b_3=1/60, n=4. Сколькими способами:
а) четыре машины могут выехать из села по одной из четырёх выходящих из него дорог;
б) можно выбрать порядок выполнения четырёх заданий контрольной работы;
в) можно съесть обед из четырёх блюд в произвольном порядке;
г) Веру, Валю, Витю и Вову можно по одному вызвать к доске для ответа;
д) можно каждый из четырёх кругов раскрасить в один из четырёх цветов (без повторений цвета);
е) можно каждый из четырёх кругов раскрасить в один из четырёх цветов (повторения допускаются)?

Подробный ответ

1) Найдём сумму первых $$n$$ членов геометрической прогрессии.

а) $$b_1=6,\; b_3=54,\; n=5.$$

Так как $$b_3=b_1q^2,$$ то

$$q^2=\frac{b_3}{b_1}=\frac{54}{6}=9,\qquad q=\pm 3.$$

Если $$q=3,$$ то

$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{6(3^5-1)}{3-1}=\frac{6(243-1)}{2}=726.$$

Если $$q=-3,$$ то

$$S_5=\frac{6((-3)^5-1)}{-3-1}=\frac{6(-243-1)}{-4}=366.$$

Значит, возможны два значения суммы: $$366$$ и $$726.$$

б) $$b_1=\frac{5}{12},\; b_3=\frac{1}{60},\; n=4.$$

Имеем

$$q^2=\frac{b_3}{b_1}=\frac{\frac{1}{60}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{25},\qquad q=\pm \frac{1}{5}.$$

Если $$q=\frac{1}{5},$$ то

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{\frac{5}{12}\left(\left(\frac{1}{5}\right)^4-1\right)}{\frac{1}{5}-1}=\frac{13}{25}.$$

Если $$q=-\frac{1}{5},$$ то

$$S_4=\frac{\frac{5}{12}\left(\left(-\frac{1}{5}\right)^4-1\right)}{-\frac{1}{5}-1}=\frac{26}{75}.$$

2) Сколько способов:

четыре машины могут выехать из села по одной из четырёх выходящих из него дорог — $$4!=24$$;
можно выбрать порядок выполнения четырёх заданий контрольной работы — $$4!=24$$;
можно съесть обед из четырёх блюд в произвольном порядке — $$4!=24$$;
Веру, Валю, Витю и Вову можно по одному вызвать к доске для ответа — $$4!=24$$;
можно каждый из четырёх кругов раскрасить в один из четырёх цветов без повторений — $$4!=24$$;
можно каждый из четырёх кругов раскрасить в один из четырёх цветов с повторениями — $$4^4=256$$.