Упр.36.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) b_1=-2, b_2=1, n=5; в) b_1=-4, b_2=2, n=6;
б) b_4=240, b_5=480, n=4; г) b_6=8, b_7=-16, n=7. В поезде n вагонов. На перроне стоят k продавцов мороженого, k?n. Сколькими способами они могут распределиться по одному в вагоны, если важно, кто в какой вагон сел, и:
а) n=2, k=1; г) n=4, k=2;
б) n=3, k=1; д) n=5, k=5;
в) n=3, k=2; е) n=10, k=4?

Подробный ответ

Найдём сумму первых $$n$$ членов геометрической прогрессии по формуле
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\neq 1.$$
а) $$b_1=-2,\; b_2=1,\; n=5.$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{-2}=-\frac12.$$
Тогда
$$ S_5=\frac{-2\left(\left(-\frac12\right)^5-1\right)}{-\frac12-1} =\frac{-2\left(-\frac1{32}-1\right)}{-\frac32} =-\frac{33}{16}\cdot\frac{2}{3} =-\frac{11}{8}. $$
б) $$b_4=240,\; b_5=480,\; n=4.$$
$$q=\frac{b_5}{b_4}=\frac{480}{240}=2.$$
Найдём первый член:
$$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{240}{2^3}=30.$$
Тогда
$$ S_4=\frac{30(2^4-1)}{2-1}=30\cdot 15=450. $$
в) $$b_1=-4,\; b_2=2,\; n=6.$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2}{-4}=-\frac12.$$
Тогда
$$ S_6=\frac{-4\left(\left(-\frac12\right)^6-1\right)}{-\frac12-1} =\frac{-4\left(\frac1{64}-1\right)}{-\frac32} =-\frac{63}{16}\cdot\frac{2}{3} =-\frac{21}{8}. $$
г) $$b_6=8,\; b_7=-16,\; n=7.$$
$$q=\frac{b_7}{b_6}=\frac{-16}{8}=-2.$$
Найдём первый член:
$$b_1=\frac{b_6}{q^5}=\frac{8}{(-2)^5}=\frac{8}{-32}=-\frac14.$$
Тогда
$$ S_7=\frac{-\frac14\left((-2)^7-1\right)}{-2-1} =\frac{-\frac14(-128-1)}{-3} =\frac{129}{12} =\frac{43}{4}. $$

Ответ

а) $$-\frac{11}{8}$$; б) $$450$$; в) $$-\frac{21}{8}$$; г) $$\frac{43}{4}$$.

Ход решения

Число способов распределить $$k$$ продавцов по разным вагонам из $$n$$, если важен порядок, равно числу размещений:
$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$
а) $$n=2,\; k=1$$
$$A_2^1=\frac{2!}{(2-1)!}=2.$$
б) $$n=3,\; k=1$$
$$A_3^1=\frac{3!}{(3-1)!}=3.$$
в) $$n=3,\; k=2$$
$$A_3^2=\frac{3!}{(3-2)!}=6.$$
г) $$n=4,\; k=2$$
$$A_4^2=\frac{4!}{(4-2)!}=12.$$
д) $$n=5,\; k=5$$
$$A_5^5=5!=120.$$
е) $$n=10,\; k=4$$
$$A_{10}^4=\frac{10!}{(10-4)!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040.$$