Упр.36.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. а) Дана арифметическая прогрессия $$(a_n)$$. Найдите $$a_{10}+a_{20}$$, если $$a_{11}+a_{13}=34$$ и $$a_{21}+a_{23}=94$$.
   б) Дана арифметическая прогрессия $$(a_n)$$. Найдите $$a_{15}+a_{30}$$, если $$a_{14}+a_{16}=-18$$ и $$a_{27}+a_{29}=34$$.

а) В арифметической прогрессии среднее арифметическое двух членов, равноудалённых от одного и того же члена, равно этому члену:

$$a_{12}=\frac{a_{11}+a_{13}}{2}=\frac{34}{2}=17,$$

$$a_{22}=\frac{a_{21}+a_{23}}{2}=\frac{94}{2}=47.$$

Разность прогрессии найдём из равенства:

$$a_{22}=a_{12}+10d,$$

$$47=17+10d,$$

$$10d=30,\quad d=3.$$

Теперь найдём искомую сумму:

$$a_{10}+a_{20}=(a_{12}-2d)+(a_{22}-2d),$$

$$a_{10}+a_{20}=17-6+47-6=52.$$

б) Аналогично:

$$a_{15}=\frac{a_{14}+a_{16}}{2}=\frac{-18}{2}=-9,$$

$$a_{28}=\frac{a_{27}+a_{29}}{2}=\frac{34}{2}=17.$$

Разность прогрессии:

$$a_{28}=a_{15}+13d,$$

$$17=-9+13d,$$

$$13d=26,\quad d=2.$$

Тогда

$$a_{15}+a_{30}=a_{15}+(a_{28}+2d),$$

$$a_{15}+a_{30}=-9+17+4=12.$$

Ответ

а) $$52$$; б) $$12$$.