Упр.36.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {4x^2-3y^2=-8, y+2x=4};
б) {2x^2-3xy+5y^2=70, x+2y=5v5};
в) {2x^2-3y^2=33, y+2x=5};
г) {3x^2+2xy-4y^2=36, 3x-2y=4v3.

1. а)

   Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=4-2x.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$ 4x^2-3(4-2x)^2=-8 $$
   $$ 4x^2-3(16-16x+4x^2)=-8 $$
   $$ 4x^2-48+48x-12x^2=-8 $$
   $$ 8x^2-48x+40=0 $$
   $$ x^2-6x+5=0 $$
   $$ (x-1)(x-5)=0 $$

   Отсюда $$x=1$$ или $$x=5$$.

   Тогда

   $$y=4-2\cdot 1=2,$$

   $$y=4-2\cdot 5=-6.$$

   Получаем решения: $$(1;2)$$ и $$(5;-6).$$

2. б)

   Из второго уравнения:

   $$x=5\sqrt5-2y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$ 2(5\sqrt5-2y)^2-3y(5\sqrt5-2y)+5y^2=70 $$
   $$ 2(125-20y\sqrt5+4y^2)-15y\sqrt5+6y^2+5y^2=70 $$
   $$ 250-40y\sqrt5+8y^2-15y\sqrt5+11y^2=70 $$
   $$ 19y^2-55y\sqrt5+180=0 $$

   Дискриминант:

   $$ D=(55\sqrt5)^2-4\cdot 19\cdot 180=15125-13680=1445=(17\sqrt5)^2. $$

   Тогда

   $$ y=\frac{55\sqrt5\pm 17\sqrt5}{2\cdot 19}. $$

   Получаем:

   $$y_1=\sqrt5,\qquad y_2=\frac{36\sqrt5}{19}.$$

   Найдём $$x$$:

   $$ x_1=5\sqrt5-2\sqrt5=3\sqrt5, $$
   $$ x_2=5\sqrt5-2\cdot \frac{36\sqrt5}{19}=\frac{23\sqrt5}{19}. $$

   Решения системы: $$(3\sqrt5;\sqrt5)$$ и $$\left(\frac{23\sqrt5}{19};\frac{36\sqrt5}{19}\right).$$

3. в)

   Из второго уравнения:

   $$y=5-2x.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$ 2x^2-3(5-2x)^2=33 $$
   $$ 2x^2-3(25-20x+4x^2)=33 $$
   $$ 2x^2-75+60x-12x^2=33 $$
   $$ 10x^2-60x+108=0 $$
   $$ 5x^2-30x+54=0. $$

   Дискриминант:

   $$ D=30^2-4\cdot 5\cdot 54=900-1080=-180<0. $$

   Следовательно, действительных решений нет.

4. г)

   Из второго уравнения:

   $$2y=3x-4\sqrt3,\qquad y=\frac{3x-4\sqrt3}{2}.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$ 3x^2+2x\cdot \frac{3x-4\sqrt3}{2}-4\left(\frac{3x-4\sqrt3}{2}\right)^2=36 $$
   $$ 3x^2+x(3x-4\sqrt3)-(3x-4\sqrt3)^2=36 $$
   $$ 3x^2+3x^2-4x\sqrt3-9x^2+24x\sqrt3-48=36 $$
   $$ 3x^2-20x\sqrt3+84=0. $$

   Дискриминант:

   $$ D=(20\sqrt3)^2-4\cdot 3\cdot 84=1200-1008=192=(8\sqrt3)^2\cdot 3. $$

   Тогда

   $$ x=\frac{20\sqrt3\pm 8\sqrt3}{2\cdot 3}. $$

   Получаем:

   $$x_1=2\sqrt3,\qquad x_2=\frac{14\sqrt3}{3}.$$

   Найдём $$y$$:

   $$ y_1=\frac{3\cdot 2\sqrt3-4\sqrt3}{2}=\sqrt3, $$
   $$ y_2=\frac{3\cdot \frac{14\sqrt3}{3}-4\sqrt3}{2}=5\sqrt3. $$

   Решения системы: $$(2\sqrt3;\sqrt3)$$ и $$\left(\frac{14\sqrt3}{3};5\sqrt3\right).$$

Ответ

а) $$(1;2),\ (5;-6)$$; б) $$(3\sqrt5;\sqrt5),\ \left(\frac{23\sqrt5}{19};\frac{36\sqrt5}{19}\right)$$; в) решений нет; г) $$(2\sqrt3;\sqrt3),\ \left(\frac{14\sqrt3}{3};5\sqrt3\right).$$