Упр.36.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Есть ли среди представленных уравнений пары равносильных уравнений? Назовите их, объясните свой выбор:
а) $$x^3-y^2+2y+1=0,\quad y=\sqrt{x^3+2}+1,\quad x=\left((y-1)^2+2\right)^{1/3};$$
б) $$x|y|=-6,\quad |y|=-\frac{6}{x},\quad xy+4=-2;$$
в) $$y^3-x^2+4x-2=0,\quad x=\sqrt{y^3+2}+2,\quad y=\left((x-2)^2-2\right)^{1/3};$$
г) $$|x|y=8,\quad y=\frac{8}{|x|},\quad xy-5=3.$$
а)
Из первого уравнения
$$x^3-y^2+2y+1=0 \;\Rightarrow\; x^3-(y-1)^2=-2,$$
то есть
$$x=\sqrt[3]{(y-1)^2-2}.$$
Это совпадает с третьим уравнением, а второе уравнение ему не равносильно. Значит, равносильной пары нет.
б)
Из первого уравнения
$$x|y|=-6 \;\Rightarrow\; |y|=-\frac{6}{x}, \quad x\ne 0.$$
Это совпадает со вторым уравнением.
Из третьего уравнения
$$xy+4=-2 \;\Rightarrow\; xy=-6,$$
но это не то же самое, что $$x|y|=-6.$$
Значит, равносильны первое и второе уравнения.
в)
Из первого уравнения
$$y^3-x^2+4x-2=0 \;\Rightarrow\; y^3-(x-2)^2=-2,$$
то есть
$$y=\sqrt[3]{(x-2)^2-2}.$$
Это совпадает с третьим уравнением, а второе уравнение ему не равносильно. Значит, равносильны первое и третье уравнения.
г)
Из первого уравнения
$$|x|y=8 \;\Rightarrow\; y=\frac{8}{|x|}, \quad x\ne 0.$$
Это совпадает со вторым уравнением.
Из третьего уравнения
$$xy-5=3 \;\Rightarrow\; xy=8,$$
но это не то же самое, что $$|x|y=8.$$
Значит, равносильны первое и второе уравнения.
Ответ
а) нет; б) 1 и 2; в) 1 и 3; г) 1 и 2.
