Упр.36.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) {x^2+3x-40>0, 1-3x>-10};
б) {x^2+4x-45?0, 3-2x?19}. В кружке по математике занимаются 6 учеников из 9 «А» класса, 7 учеников из 9 «Б» и 8 учеников из 9 «В». На олимпиаду выбирают троих. Сколькими способами можно выбрать:
а) троих, по одному из каждого класса;
б) одного из класса «А», двоих из класса «Б>;
в) одного из класса «А» или «Б», двоих из класса «В»;
г) всех из 9 «А» класса;
д) всех из 9 «В» класса;
е) всех из всего кружка?

Подробный ответ

а) Решим систему неравенств:
$$x^2+3x-40>0$$
$$D=3^2+4\cdot 40=169$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 13}{2}$$
$$x_1=-8,\quad x_2=5$$
$$x^2+3x-40=(x+8)(x-5)$$
Тогда
$$x<-8 \text{ или } x>5.$$
Второе неравенство:
$$1-3x>-10$$
$$-3x>-11$$
$$x<\frac{11}{3}.$$
Пересечение решений:
$$x<-8.$$
б) Решим систему неравенств:
$$x^2+4x-45\le 0$$
$$D=4^2+4\cdot 45=196$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 14}{2}$$
$$x_1=-9,\quad x_2=5$$
$$x^2+4x-45=(x+9)(x-5)$$
Тогда
$$-9\le x\le 5.$$
Второе неравенство:
$$3-2x\le 19$$
$$-2x\le 16$$
$$x\ge -8.$$
Пересечение решений:
$$[-8;5].$$
Число способов выбрать троих учеников:
а) по одному из каждого класса:
$$6\cdot 7\cdot 8=336.$$
б) одного из 9 «А» и двоих из 9 «Б»:
$$6\cdot C_7^2=6\cdot \frac{7\cdot 6}{2}=126.$$
в) одного из 9 «А» или 9 «Б», двоих из 9 «В»:
$$\left(6+7\right)\cdot C_8^2=13\cdot \frac{8\cdot 7}{2}=364.$$
г) всех из 9 «А» класса:
$$C_6^3=\frac{6!}{3!\,3!}=20.$$
д) всех из 9 «В» класса:
$$C_8^3=\frac{8!}{5!\,3!}=56.$$
е) всех из всего кружка:
$$C_{21}^3=\frac{21\cdot 20\cdot 19}{3\cdot 2}=1330.$$