Упр.36.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) C(1; n)=n; г) C(2; n)=n(n-1)/2;
б) C(n-1; n)=n; д) C(m-1; m+1)=m(m+1)/2;
в) C(k+2; k+3)=k+3; е) C(3; n)=n(n-1)(n-2)/6.
Пусть геометрическая прогрессия имеет вид $$b_1,\; b_2,\; b_3,\; \ldots,\; b_{2n}, \quad n \in \mathbb{N}.$$
Тогда для её членов с нечётными и чётными номерами получаем:
$$b_2=b_1q,\; b_4=b_3q,\; \ldots,\; b_{2n}=b_{2n-1}q.$$
Сумма членов, стоящих на чётных местах:
$$b_2+b_4+\cdots+b_{2n}=q(b_1+b_3+\cdots+b_{2n-1}).$$
Следовательно, отношение суммы членов на чётных местах к сумме членов на нечётных местах равно:
$$\frac{b_2+b_4+\cdots+b_{2n}}{b_1+b_3+\cdots+b_{2n-1}}=q.$$
Что и требовалось доказать.
Докажем равенства для сочетаний.
$$C_n^1=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=n.$$
$$C_n^{n-1}=\frac{n!}{(n-1)!1!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=n.$$
$$C_{k+3}^{k+2}=\frac{(k+3)!}{(k+2)!1!}=\frac{(k+3)(k+2)!}{(k+2)!}=k+3.$$
$$C_n^2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}.$$
$$C_{m+1}^{m-1}=\frac{(m+1)!}{(m-1)!2!}=\frac{(m+1)m(m-1)!}{2(m-1)!}=\frac{m(m+1)}{2}.$$
$$C_n^3=\frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3\cdot 2\,(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$$
Ответ
$$\frac{b_2+b_4+\cdots+b_{2n}}{b_1+b_3+\cdots+b_{2n-1}}=q,$$
$$C_n^1=n,\quad C_n^{n-1}=n,\quad C_{k+3}^{k+2}=k+3,\quad C_n^2=\frac{n(n-1)}{2},\quad C_{m+1}^{m-1}=\frac{m(m+1)}{2},\quad C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$$
