Упр.35.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

б) Между числами 1/2 и 1/54 вставьте два числа так, чтобы получились четыре последовательных члена геометрической прогрессии. В июле клиент взял в банке кредит на сумму 100 000 р. под х % годовых. Условия погашения кредита таковы, что через год после выдачи кредита начисляются проценты по кредиту, после этого выплачивается часть долга. Под какой процент был взят кредит, если он был полностью погашен за 2 года, причём в первый год было выплачено 65 000 р., а во второй 57 500 р.?

Подробный ответ

Пусть $$b_1$$, $$b_2$$, $$b_3$$, $$b_4$$ — четыре последовательных члена геометрической прогрессии.
а) Дано: $$b_1=7$$, $$b_4=448$$.
Тогда
$$b_4=b_1q^3$$
$$448=7q^3$$
$$q^3=64,\quad q=4.$$
Находим недостающие члены:
$$b_2=b_1q=7\cdot 4=28,$$
$$b_3=b_2q=28\cdot 4=112.$$
б) Дано: $$b_1=\frac12$$, $$b_4=\frac1{54}$$.
Тогда
$$b_4=b_1q^3$$
$$\frac1{54}=\frac12 q^3$$
$$q^3=\frac1{27},\quad q=\frac13.$$
Находим недостающие члены:
$$b_2=b_1q=\frac12\cdot \frac13=\frac16,$$
$$b_3=b_2q=\frac16\cdot \frac13=\frac1{18}.$$
Пусть $$x$$ — процентная ставка по кредиту.
Через год долг составит $$100000\left(1+\frac{x}{100}\right)$$, после выплаты $$65000$$ рублей останется
$$100000\left(1+\frac{x}{100}\right)-65000.$$
Ещё через год эта сумма увеличится на проценты и станет $$57500$$ рублей:
$$\left(100000\left(1+\frac{x}{100}\right)-65000\right)\left(1+\frac{x}{100}\right)=57500.$$
Раскроем скобки:
$$100000\left(1+\frac{x}{100}\right)^2-65000\left(1+\frac{x}{100}\right)=57500.$$
Разделим на $$2500$$:
$$40\left(1+\frac{x}{100}\right)^2-26\left(1+\frac{x}{100}\right)-23=0.$$
Положим $$t=1+\frac{x}{100}$$. Тогда
$$40t^2-26t-23=0.$$
$$D=(-26)^2-4\cdot 40\cdot(-23)=676+3680=4356,$$
$$\sqrt{D}=66.$$
$$t=\frac{26\pm 66}{80}.$$
Подходит положительный корень:
$$t=\frac{92}{80}=1.15.$$
Тогда
$$1+\frac{x}{100}=1.15,$$
$$\frac{x}{100}=0.15,$$
$$x=15.$$